====== Аксиоматика Гильберта ======
===== Основные (неопределяемые) объекты и отношения =====
==== Основные объекты ====
  - Точки
  - Прямые

==== Основные отношения ====
  - Точка лежит на прямой


===== 1. Аксиомы принадлежности =====
====Аксиома 1.1====
Для любых двух точек $A$ и $B$ существует прямая $a$, принадлежащая каждой из этих двух точек.
====Аксиома 1.2====
Для любых двух точек $A$ и $B$ существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из этих двух точек.
====Аксиома 1.3====
На прямой существуют по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

===== 2. Аксиомы порядка =====
====Аксиома 2.1====
Если точка $B$ лежит между точкой $A$ и точкой $C$, то $A, B, C$ суть три различные токи прямой, и $B$ лежит также между $C$ и $A$.

====Аксиома 2.2====
Для любых двух точек $A$ и $C$ на прямой $AC$ существует по крайней мере  одна точка $B$ такая, что точка $C$ лежит между $A$ и $B$.
====Аксиома 2.3====
Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
====Аксиома 2.4 (Паша)====
Пусть $A, B, C$ -- три точки, не лежащие на одной прямой, и $a$ - прямая в плоскости $ABC$, не проходящая ни через одну из точек $A, B, C$. Если при этом прямая $a$ проходит через одну из точек отрезка $AB$, то она должна пройти через одну из точек отрезка $AC$ или через одну из точек отрезка $BC$.

<hidden>
**Теорема 3.**
Для любых двух точек $A$ и $C$ на прямой $AC$ существует по крайней мере одна точка $D$, лежащая между $A$ и $C$.
 \\
 \\
**Теорема 4**
Среди трех точек $A,B,C$ на одной и той же прямой всегда существует одна, лежащая между двумя другими.
 \\
 \\
**Теорема (дополнение к аксиоме Паша)**
Пусть $A, B, C$ -- три точки, не лежащие на одной прямой, и $a$ - прямая в плоскости $ABC$, не проходящая ни через одну из точек $A, B, C$. Если при этом прямая $a$ проходит через одну из точек отрезка $AB$, то она не может при этом пересечь оба отрезка $AC$ и $BC$.
 \\
 \\
**Теорема 5**
Любые четыре точки на прямой можно обозначить буквами $A, B, C, D$ так, чтобы точка, обозначенная буквой $B$, лежала как между точками $A$ и $C$, так и между $A$ и $D$? а точка, обозначенная буквой $C$? лежала как между точками $A$ и $D$, так и между точками $B$ и $D$.
 \\
 \\
**Теорема 6**
Как бы ни было расположено конечное число точек на прямой, их можно обозначить буквами $A, B, C, D, ... , K$ так, чтобы точка обозначенная буквой $B$, лежала между точкой $A$ с одной стороны и точками $C, D, E, ... , K$ -- с другой. Далее $C$ -- между $A$ и $B$ с одной стороны и $D, E, ... , K$ с другой стороны, и т.д. Кроме этого обозначения существует ещё только обратный способ обозначения $K, ... , E, D, C, B, A$, обладающий тем же свойством.
\\
\\
** Теорема 7**
Между любыми двумя точками прямой существует бесчисленное множество точек
\\
\\
**Теорема 8**
Каждая прямая $a$, лежащая в плоскости $\alpha$, разбивает точки плоскости $\alpha$, не лежащие на этой прямой, на две области, обладающие следующим свойством: каждая точка $A$ одной из областей вместе с каждой точкой $B$ другой области определяют отрезок $AB$, внутри которого лежит одна точка прямой $a$, а любые две точки $A$ и $A'$ одной и той же области определяют отрезок, не содержащий ни одной из точек прямой $a$.
\\
\\
** Теорема 9**
Всякий простой многоугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, разбивает точки плоскости $\alpha$, не принадлежащие многоугольнику, на две области -- внутреннюю и внешнюю, -- обладающие следующими свойствами: если $A$ есть точка внутренней области, а $B$ -- точка внешней области, то всякая ломаная, лежащая в плоскости $\alpha$ и соединяющая точки $A$ и $B$, имеет по крайней мере одну общую точку с многоугольником; если же $A$ и $A'$ -- суть де внутренние точки многоугольника, а $B$ и $B'$ - его внешние точки, то, наоборот, всегда существуют в плоскости $\alpha$ ломаные, соединяющие точку $A$ с точкой $A'$ и точку $B$ с точкой $B'$ и не имеющие никаких общих точек с многоугольником. При надлежащем выборе названия для обеих областей, в плоскости будут существовать прямые, целиком проходящие во внешней области многоугольника, и. наоборот, не будет существовать ни одной прямой, целиком лежащей в его внутренней области.
</hidden>
===== 3. Аксиомы конгруентности =====
=== Замечание ===
Отрезки (в некоторых случаях) находятся один к другому в определенном отношении, для обозначения которого нам служат слова <<конгруентен>> или <<равен>>.
====Аксиома 3.1 (об откладывании отрезка)====
Если $A, B$ суть две точки на прямой $a$ и $A'$ -- точка на той же прямой или на другой прямой $a'$, то всегда можно найти точку $B'$, лежащую по данную сторону от точки $A'$ на прямой $a'$, и притом такую, что отрезок $AB$ конгруентен, иначе говоря, равен отрезку $A'B'$.
==== Аксиома 3.2 ====
Если отрезок $A'B'$ и отрезок $A''B''$ конгруентны одному и тому же отрезку $AB$, то отрезок $A'B'$ конгруентен также и отрезку $A''B''$.

**Теорема**
Отношение конгруентности отрезков обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

==== Аксиома 3.3 (о сложении отрезков)====
Пусть $AB$ и $BC$ суть два отрезка прямой $a$, не имеющие ни одной общей точки, и пусть, далее, $A'B'$ и $B'C'$ суть два отрезка той же прямой или другой прямой $a'$, также не имеющие общих точек. Если при этом $AB=A'B'$ и $BC=B'C'$, то $AC=A'C'$

=== Замечание ===
Углы (в некоторых случаях) находятся один к другому в определенном отношении, для обозначения которого нам служат слова <<конгруентен>> или <<равен>>.

==== Аксиома 3.4 ====
Пусть даны угол $\angle(h,k)$ в плоскости $\alpha$ и прямая $a'$ в плоскости $a'$, а также