=======Четыре замечательные точки треугольника======= =====Определение===== Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в таком случае называется описанным. =====Определение===== Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Многоугольник в таком случае называется вписанным в данную окружность. =====Определение===== Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром масс. =====Замечение===== Медианы треугольника пересекаются в одной точке по теореме. =====Теорема о биссектрисе, как ГМТ===== Биссектриса неразвернутого угла -- это геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон. {{:math-public:089a.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Рассмотрим угол $\angle A$. Докажем, что любая точка, принадлежащая биссектрисе равноудалена от сторон этого угла. Возьмём произвольную точку $M$ на биссектрисе угла $A$ и опустим из неё перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны данного угла. Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $MB=MC$, и следовательно, точка $M$ равноудалена от сторон угла. Обратно: докажем, что если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе. Возьмём произвольную точку $M$, из которой опущены перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны угла и при этом $MB=MC$. Докажем, что точка $M$ принадлежит биссектрисе. Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и катету, следовательно, $\angle BAM=\angle CAM$, то есть $AM$ -- биссектриса угла $\angle A$. =====Теорема===== Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. {{:math-public:090.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== ===Первый способ.=== Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. По теореме $\dfrac{AC_1}{C_1B}=\dfrac{AC}{BC}, \dfrac{BA_1}{A_1C}=\dfrac{AB}{AC}, \dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{BC}{BA}$. Перемножая эти равенства, получим: $\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{AC}{BC}\cdot \dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}=1$, а это по теореме Чевы означает, что биссектрисы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. ===Второй способ.=== Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Докажем, что все биссектрисы пересекаются в одной точке. Пусть биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $I$. Тогда по теореме $\rho(I;AB)=\rho(I;AC)$, так как $I\in AA_1$, и $\rho(I;BA)=\rho(I;BC)$, так как $I\in BB_1$. Тогда $\rho(I;CA)=\rho(I;CB)$, что означает, что $I\in CC_1$, то есть все три биссектрисы пересекаются в одной точке. =====Следствие===== В любой треугольник можно вписать окружность, центром которой будет являться точка пересечения его биссектрис. Такая окружность единственна. {{:math-public:091.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и обозначим буквой $I$ точку пересечения его биссектрис. Проведем из этой точки перпендикуляры $IK, IL$ и $IM$ к сторонам $AB, BC$ и $CA$ соответственно. Так как точка $I$ равноудалена от сторон треугольника, то $IK=IL=IM$. Поэтому окружность с центром $I$ радиуса $IK$ проходит через точки $K, L$ и $M$. Стороны треугольника $ABC$ касаются этой окружности в точках $K, L, M$ так как они перпендикулярны к радиусам $IK, IL$ и $IM$. Значит окружность с центром $I$ радиуса $IK$ является вписанной в треугольник $ABC$. Докажем, что такая окружность единственна. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит совпадает с точкой $I$ пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки $I$ до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. =====Следствие===== Если все биссектрисы выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то в него можно вписать окружность, центром которой будет точка пересечения биссектрис. ====Доказательство==== Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех её сторон, то есть перпендикуляры к сторонам многоугольника будут равны, а окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным расстоянию от точки пересечения биссектрис до стороны, будет касаться всех сторон. =====Теорема о серединном перпендикуляре, как ГМТ===== Серединный перпендикуляр к отрезку -- это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. {{:math-public:092.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Рассмотрим отрезок $AB$. Середину отрезка обозначим $C$. Докажем, что любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру, равноудалена от сторон. Действительно, возьмём произвольную точку $M$ на серединном перпендикуляре. Если $M=C$, то очевидно, что $MA=MB$. Если $M\neq C$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум катетам, следовательно $AM=MB$. Обратно, докажем, что любая точка равноудалённая от сторон, принадлежит серединному перпендикуляру. Возьмём произвольную точку $M$, для которой $MA=MB$. Если $M=C$, то очевидно, $M$ принадлежит серединному перпендикуляру. Если $M C$, то треугольник $AMB$ -- равнобедренный, и, следовательно, медиана $MC$ является высотой, то есть $MC$ -- серединный перпендикуляр. =====Следствие===== Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. {{:math-public:093.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором точки $M, N$ и $P$ являются серединами сторон $AB, BC$ и $CA$. Обозначим серединные перпендикуляры к сторонам $AB, BC, AC$ как $m, n, p$. Докажем, что эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Если предположить, что $m\parallel n$, то получится, что $n\perp BA$, так как $m\perp BA$. Но тогда получится, что через точку $B$ проходят две различные прямые $BA$ и $BC$, перпендикулярные прямой $n$, что невозможно, следовательно, прямые $m$ и $n$ пересекаются. Пусть они пересекаются в точке $O$. Тогда по теореме $OA=OB$, так как точка $O\in m$, и $OB=OC$, так как $O\in n$. Тогда $OA=OC$, и, следовательно, $O\in p$. =====Следствие===== Около любого треугольника можно описать окружность, центром которой будет точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Такая окружность единственна. {{:math-public:094.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в точке $O$. Тогда точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ будет описанной около данного треугольника. Докажем, что такая окружность единственна. Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда, центры этих окружностей равноудалены от вершин треугольника. Но такая точка только одна -- это точка пересечения серединных перпендикуляров. Кроме того их радиусы равны $OA$, следовательно эти окружности совпадают. =====Следствие===== Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то около него можно описать окружность, центром которой будет точка пересечения серединных перпендикуляров. ====Доказательство==== Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена от всех его вершин, и, следовательно, окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным расстоянию от этой точки до какой-либо из его вершин, будет описанной около этого многоугольника. =====Теорема===== Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. {{:math-public:095.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором проведены высоты $AA_1, BB_1, CC_1$. Докажем, что все высоты пересекаются в одной точке. Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AC$, через точку $C$ -- прямую, параллельную $AB$, а через точку $A$ -- прямую, параллельную $BC$. Эти прямые, пересекаясь, образуют треугольник $MNP$. Четырёхугольник $AMBC$ является параллелограммом ($MB\parallel AC$, $MA\parallel BC$). Аналогично, $ABNC$ -- параллелограмм. Тогда $MB=AC=BN$, как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, $B$ -- середина $MN$, а $BB_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $MN$. Аналогично, $AA_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $MP$, $CC_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $PN$. Получается, что $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, как серединные перпендикуляры треугольника $MNP$. =====Следствие===== Если через вершины треугольника провести прямые, параллельные противоположным сторонам, то пересекаясь, они образуют треугольник подобный исходному с коэффициентом $2$. При этом вершины исходного треугольника являются серединами сторон образовавшегося треугольника. =====Следствие===== Серединные перпендикуляры треугольника являются высотами серединного треугольника. Следовательно, ортоцентр серединного треугольника является центром окружности, описанной около исходного треугольника. ====Доказательство==== Утверждение полностью следует из доказательства теоремы. =====Определение===== Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром треугольника.