======Длина окружности. Площадь круга====== =====Определение===== Длина окружности -- это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон. =====Определение===== Длина кривой линии приближённо равна длине вписанной ломанной и вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломанной и чем чаще располагаются вершины ломанной на данной кривой. =====Теорема===== Длина окружности пропорциональна ее радиусу, то есть отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности. {{:math:120.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Пусть $C$ и $C'$ -- длины окружностей радиусов $R$ и $R'$. Впишем в каждую из них правильный $n$-угольник и обозначим через $P_n$ и $P'_n$ их периметры. По следствию имеем $\frac{P_n}{P'_n}=\frac{2R}{2R'}$. Это равенство справедливо при любом значении $n$. Будем теперь неограниченно увеличивать число $n$. Так как $P_n\rightarrow C$, $P'_n\rightarrow C'$ при $n\rightarrow\infty$, то $\dfrac{P_n}{P'_n}=\dfrac{C}{C'}$. Тогда в силу равенства $\dfrac{C}{C'}=\dfrac{2R}{2R'}$. Из этого равенства следует, что $\dfrac{C}{2R}=\dfrac{C'}{2R'}$. =====Определение===== Отношение длины окружности к её диаметру обозначается числом $\pi$. То есть $\dfrac{C}{2R}=\pi$. Таким образом длина окружности вычисляется по формуле $C=2\pi R$. =====Теорема===== Периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности $F$, приближаются к длине окружности $F$. {{:math:121.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Пусть правильный $n$-угольник $Q$ описан около окружности $F$ с радиусом $R$ и центром $O$. Соединим отрезками точку $O$ с вершинами многоугольника $Q$. Эти отрезки пересекут окружность $F$ в точках, которые являются вершинами правильного $n$-угольника $Q'$, вписанного в $F$. пусть сторона $AB$ $n$-угольника $Q$ касается окружности $F$ в точке $C$, а отрезки $OA$ и $OB$ пересекают $F$ в точках $A'$ и $B'$. Радиус $OC$ пересечёт отрезок $A'B'$ в середине -- точке $C'$. Отношение периметров $P$ и $P'$ правильных $n$-угольников $Q$ и $Q'$ равно отношению их сторон $AB$ и $A'B'$, то есть отношению их половин $\dfrac{AC}{A'C'}$. И так как $AC=R\tg{\dfrac{180^\circ}{n}}$ и $A'C'=R\sin{\dfrac{180^\circ}{n}}$, то $\dfrac{P}{P'}=\dfrac{1}{\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}}$. Поэтому $P=\dfrac{P'}{\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}}$. Когда число $n$ неограниченно увеличивается, $\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}$ приближается к $\cos{0^\circ}, $ то есть к $1$, а $P'$ -- к длине окружности $F$, то есть к $2\pi R$. Следовательно, периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности $F$, как и периметры вписанных $n$-угольников, приближаются к длине окружности $F$. =====Теорема===== Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в $\alpha^\circ,$ равна $l_\alpha=\dfrac{2\pi R\alpha}{360}$. ====Доказательство==== Так как длина всей окружности равна $2\pi R$, то длина дуги в $1^\circ$ равна $\dfrac{2\pi R}{360}$. Поэтому длина дуги, соответствующей центральному углу в $\alpha^{\circ}\phantom{1}$ выражается формулой $l_\alpha=\dfrac{2\pi R}{360}\cdot\alpha$. =====Теорема о площади круга===== Площадь $S$ круга радиуса $R$ выражается формулой $S=\pi R^2$. {{:math:122.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, вписанный в окружность, ограничивающую круг. Очевидно, площадь $S$ данного круга больше площади $S_n$ многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С другой стороны, площадь $S'_n$ круга, вписанного в многоугольник, меньше $S_n$, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак, $S'_n> к описанной окружности, поэтому $S'_n\rightarrow S$ при $n\rightarrow \infty$. Площадь вписанного многоугольника $S_n=\dfrac{1}{2}P_nr_n$, где $P_n$ -- периметр многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$. Учитывая, что $r_n\rightarrow R, P_n\rightarrow 2\pi R, S_n\rightarrow S$ при $n\rightarrow \infty$, получаем $S=\dfrac{1}{2}2\pi R\cdot R=\pi R^2$. =====Следствие===== - Площадь сектора, соответствующего центральному углу в $\alpha^\circ$, выражается формулой $S_{\alpha}=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}$. - Площадь сегмента, соответствующего центральному углу в $\alpha^\circ$, выражается формулой $S=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}-\dfrac{1}{2}R^2\sin{\alpha}$. {{:math:123.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== ===Докажем первый пункт.=== Так как площадь всего круга равна $\pi R^2$, то площадь сектора, ограниченного дугой в $1^\circ$, равна $\dfrac{\pi R^2}{360}$. Поэтому площадь $S_{\alpha}$ сектора, ограниченного дугой в $\alpha^\circ$ равна $S_{\alpha}=\dfrac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha$. ===Докажем второй пункт.=== Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника $AOB$, таким образом $S=S_{\alpha}-S_{\tri AOB}=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}-\dfrac{1}{2}R^2\sin{\alpha}.$