=====Теорема=====
  - Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла, заключенного между ними.
  - Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла, заключенного между ними.
  - Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

{{:math-public:066a.jpg?direct&150|}}
{{:math-public:066b.jpg?direct&150|}}
{{:math-public:066c.jpg?direct&150|}}

====Доказательство====
===Докажем первый пункт теоремы.===

Пусть в треугольнике $ABC$ известны стороны $b, c$ и угол $A$ между ними.

Докажем, что $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}$.

Действительно, проведем высоту $h=CD$ из вершины $C$.

Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$.

Поэтому $h=b\sin{A}$.

Тогда $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}ch=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}$.

===Докажем второй пункт теоремы.===

Пусть в параллелограмме $ABCD$ известны стороны $a, b$ и угол $A$ между ними. 

Докажем, что $S_{ABCD}=ab\sin{A}$.

Действительно, проведем высоту $h=BH$ из вершины $B$.

Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$.

Поэтому $h=b\sin{A}$. 

Тогда $S_{ABCD}=ah=ab\sin{A}$.

===Докажем третий пункт теоремы.===
Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.

Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$.

Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$.

Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle
BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним.

Следовательно, синусы углов
$\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$ и $\angle AOD$ равны.

Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$.

Тогда $S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(ad+db+bc+ca)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(d(a+b)+c(b+a))=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(a+b)(c+d)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot AC\cdot BD$.


=====Теорема=====
В любом выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполняется соотношение
$S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$.

{{:math-public:066c.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.

Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$.

Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$.

Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним.

Следовательно, синусы углов $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$ и $\angle AOD$ равны. 

Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$.

Тогда $S_{ABO}\cdot S_{COD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot
ad\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot
bc=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot
db\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot ac=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$.


=====Следствие=====
В произвольной трапеции площади треугольников, на которые трапецию
делят диагонали, удовлетворяют соотношению $S^2=S_1\cdot S_2$.

====Доказательство====
Рассмотрим трапецию $ABCD$ в которой диагонали $AC$ и $BD$
пересекаются в точке $O$.

По теореме $S_{AOB}=S_{COD}=S$.

Обозначим $S_1=S_{BOC}$, $S_2=S_{AOD}$.

Тогда, учитывая теорему, получим $S^2=S_1\cdot S_2$.