$f(x)=ax^2+bx+c$, при $a\neq0$.

^1. Оба корня $x_1$ и $x_2$ правее точки $t_1$: $t_1<x_1<x_2$.^^^
|Ветви  вверх |Ветви вниз|Общие необходимые и достаточные условия|
|{{:math-public:txx1.jpg?150&direct}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)>0 \end{array}\right.$|{{:math-public:txx2.jpg?150&direct}} $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)<0 \end{array}\right.$|  $\left\{\begin{array}{l} D>0\\ x_0>t_1\\ af(t_1)>0 \end{array}\right.$    |

^2. Оба корня $x_1$ и $x_2$ левее точки $t_1$: $x_1<x_2<t_1$.^^^
|Ветви  вверх |Ветви вниз|Общие необходимые и достаточные условия|
| {{:math-public:xxt1.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0<t_1\\ f(t_1)>0 \end{array}\right.$| {{:math-public:xxt2.jpg?direct&150|}}$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0<t_1\\ f(t_1)<0 \end{array}\right.$  |  $\left\{\begin{array}{l} D>0\\ x_0<t_1\\ af(t_1)>0 \end{array}\right.$   |

^3. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат по разные стороны от точки $t_1$: $x_1<t_1<x_2$.^^^
|Ветви  вверх |Ветви вниз|Общие необходимые и достаточные условия|
| {{:math-public:xtx1.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0\in \mathbb{R}\\ f(t_1)<0\end{array}\right.$| {{:math-public:xtx2.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0\in \mathbb{R}\\ f(t_1)>0\end{array}\right.$ |  $af(t_1)<0$   |

^4. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат внутри интервала $(t_1;t_2)$: $t_1<x_1<x_2<t_2$.^^^
|Ветви  вверх |Ветви вниз|Общие необходимые и достаточные условия|
| {{:math-public:txxt1.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.$| {{:math-public:txxt2.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$ |-|

^ 5. Корень $x_1$ лежит левее интервала $(t_1;t_2)$, а корень $x_2$ внутри интервала $(t_1;t_2)$: $x_1<t_1<x_2<t_2$.                                                                                                                                                                                                               |||
| Ветви  вверх                                                                                                                | Ветви вниз                                                                                                                  | Общие необходимые и достаточные условия                                |
| {{:math-public:xtxt1.jpg?150&direct}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0<t_2\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.$  | {{:math-public:xtxt2.jpg?150&direct}} $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0<t_2\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$  |   $\left\{\begin{array}{l} x_0<t_2\\ f(t_1)f(t_2)<0 \end{array}\right.$   |

^ 6. Корень $x_1$ лежит внутри интервала $(t_1;t_2)$, а корень $x_2$ правее интервала $(t_1;t_2)$: $t_1<x_1<t_2<x_2$.                                                                                                                                                                                                               |||
| Ветви  вверх                                                                                                                | Ветви вниз                                                                                                                  | Общие необходимые и достаточные условия                                |
| {{:math-public:txtx1.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$  | {{:math-public:txtx2.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.$  |   $\left\{\begin{array}{l} x_0>t_1\\ f(t_1)f(t_2)<0 \end{array}\right.$   |

^ 7. Корни $x_1$ и $x_2$  лежат по разные стороны от интервала $(t_1;t_2)$: $x_1<t_1<t_2<x_2$.                                                                                                                                                                                                               |||
| Ветви  вверх                                                                                                                | Ветви вниз                                                                                                                  | Общие необходимые и достаточные условия                                |
| {{:math-public:xttx1.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0\in \mathbb{R}\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$  | {{:math-public:xttx2.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ D>0\\ x_0\in \mathbb{R}\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.$  |   $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l} a>0\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l} a<0\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.\end{array}\right.$    |

----

**Случаи с нестрогими неравенствами:**
<hidden>
^1. Оба корня $x_1$ и $x_2$ лежат на луче $[t_1;+\infty)$: $t_1\leqslant x_1<x_2$.^^^
|Ветви  вверх |Ветви вниз|Общие необходимые и достаточные условия|
|{{:math-public:txx1.jpg?150&direct}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)\geqslant0 \end{array}\right.$|{{:math-public:txx2.jpg?150&direct}} $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)\leqslant0 \end{array}\right.$|  $\left\{\begin{array}{l} D>0\\ x_0>t_1\\ af(t_1)\geqslant0 \end{array}\right.$    |

^2. Оба корня $x_1$ и $x_2$ лежат на луче $(-\infty;t_1]$: $x_1<x_2\leqslant t_1$.^^^
|Ветви  вверх |Ветви вниз|Общие необходимые и достаточные условия|
| {{:math-public:xxt1.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0<t_1\\ f(t_1)\geqslant 0 \end{array}\right.$| {{:math-public:xxt2.jpg?direct&150|}}$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0<t_1\\ f(t_1)\leqslant 0 \end{array}\right.$  |  $\left\{\begin{array}{l} D>0\\ x_0<t_1\\ af(t_1)\geqslant0 \end{array}\right.$   |

^4. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат внутри отрезка $[t_1;t_2]$: $t_1\leqslant x_1<x_2\leqslant t_2$.^^^
|Ветви  вверх |Ветви вниз|Общие необходимые и достаточные условия|
| {{:math-public:txxt1.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)\geqslant 0\\ f(t_2)\geqslant 0\end{array}\right.$| {{:math-public:txxt2.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)\leqslant 0\\ f(t_2)\leqslant0\end{array}\right.$ |-|

^4a. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат внутри интервала $[t_1;t_2)$: $t_1\leqslant x_1<x_2<t_2$.^^^
|Ветви  вверх |Ветви вниз|Общие необходимые и достаточные условия|
| {{:math-public:txxt1.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)\geqslant 0\\ f(t_2)> 0\end{array}\right.$| {{:math-public:txxt2.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)\leqslant 0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$ |-|

^4b. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат внутри интервала $(t_1;t_2]$: $t_1<x_1<x_2\leqslant t_2$.^^^
|Ветви  вверх |Ветви вниз|Общие необходимые и достаточные условия|
| {{:math-public:txxt1.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)> 0\\ f(t_2)\geqslant 0\end{array}\right.$| {{:math-public:txxt2.jpg?direct&150|}} $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)< 0\\ f(t_2)\leqslant0\end{array}\right.$ |-|


Один на открытом луче, другой на закрытом.
</hidden>


----

**Комбинированные условия:** 
<hidden>
Ровно один из двух корней лежит на промежутке.

Корни по одну сторону от числа.


</hidden>