======Модуль  функции и аргумента======
=====Теорема 1=====
Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=|f(x)|$, нужно  ту часть графика, для которой $y<0$, симметрично отобразить относительно оси $Ox$ наверх, а ту, для которой $y\geqslant0$, оставить без изменений.

====Доказательство====
Пусть точка $A(x_0;y_0)$ принадлежит графику $y=f(x)$, т.е. $y_0=f(x_0)$.

Возможны два случая.
===Первый случай.===
Пусть $y_0\geqslant0$.

Тогда подстановкой легко проверить, что точка $A\left(x_0; y_0\right)$ будет принадлежать и графику $y=|f(x)|$. 

Действительно, $|f(x_0)|=|y_0|=y_0$.

Таким образом в этом случае точка $A(x_0;y_0)$ осталась неподвижной.

===Второй случай.===
Пусть $y_0<0$.

Тогда подстановкой легко проверить, что точка $A\left(x_0; |y_0|\right)$ будет принадлежать и графику $y=|f(x)|$. 

Действительно, $|f(x_0)|=|y_0|$.

Таким образом в этом случае точка $A(x_0;y_0)$ перешла в точку $A'(x_0, |y_0|)$, которая симметрична точке $A$ относительно оси $Ox$ и лежит в верхней полуплоскости.


=====Теорема 2=====
Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=f(|x|)$, нужно ту, часть графика, для которой $x<0$, стереть, а оставшуюся часть графика, для которой $x\geqslant0$, скопировать симметрично относительно оси $Oy$.

====Доказательство====
Пусть точка $A(x_0;y_0)$ принадлежит графику $y=f(x)$, т.е. $y_0=f(x_0)$.

Возможны два случая.

Пусть $x_0\geqslant0$.

Тогда подстановкой легко проверить, что точка $A\left(x_0; y_0\right)$ будет принадлежать и графику $y=f(|x|)$. 

Далее, поскольку функция $f(|x|)$ четна (то есть $f(|-x|)=f(|x|)$), то её график симметричен относительно оси $Ox$, а значит ту часть графика, которая соответствует $x\geqslant0$, нужно скопировать симметрично относительно оси $Ox$.