=====Лемма=====
Пусть на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$
и $N$ соответственно. Тогда
  - Если $BM:MA=BN:NC$, то  $MN\parallel AC$;
  - Если $MN\parallel AC$, то $BM:MA=BN:NC$;

{{:math-public:058.jpg?direct&200|}}

====Доказательство====
===Докажем первый пункт леммы.===
Пусть $BM=a, MA=xa, BN=b, NC=xb$.\\

Тогда $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{a}{a+ax}=\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{b}{b+bx}=\dfrac{BN}{BC}$.\\

Тогда треугольники $BMN$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия
треугольников, так как $\angle B$ -- общий.\\

Следовательно, $\angle 1=\angle 2$,
а так как это соответственные углы при секущей $AB$, то $MN\parallel
AC$.\\

===Докажем второй пункт теоремы.===
Так как $MN\parallel AC$, то $\angle 1=\angle 2$, а поскольку $\angle B$ -- общий, то
треугольники $BMN$ и $ABC$ подобны.\\

Тогда $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}$, откуда
$\dfrac{BM}{BM+MA}=\dfrac{1}{1+\dfrac{MA}{BM}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{NC}{BN}}$.\\

Следовательно, $\dfrac{MA}{BM}=\dfrac{NC}{BN}$.


=====Обобщенная теорема Фалеса======
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

{{:math-public:059a.jpg?direct&300|}}
{{:math-public:059b.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Пусть параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и
$b$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и $B_1, B_2, B_3$ соответственно.\\

Пусть при этом $A_1A_2:A_2A_3=x$.\\

Докажем, что тогда $B1B_2:B_2B_3=x$.\\

Рассмотрим случай, когда прямые $a$ и $b$ параллельны.\\

Тогда $A_2A_1B_1B_2$ и $A_3A_2B_2B_3$ --
параллелограммы, следовательно, $A_1A_2=B_1B_2$ и $A_2A_3=B_2B_3$, и
так как $A_1A_2:A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3=x$.\\

Рассмотрим случай, когда прямые $a$ и $b$ не параллельны.\\

Проведем через точку $B_1$ прямую $c$, параллельную прямой $a$.\\

Пусть прямые $l_2,l_3,l_4$ и прямая $c$ пересекаются в точках $C_2,
C_3, C_4$.\\

По первому случаю $B_1C_2:C_2C_3=x$, кроме того $B_2C_2\parallel B_3C_3$.\\

Тогда по второму пункту леммы $B_1C_2:C_2C_3=B_1B_2:B_2B_3=x$.


====Замечание====
Следующее утверждение неверно:\\
пусть прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и $b$ в точках $A_1,A_2,A_3$ и
$B_1,B_2,B_3$ соответственно. Тогда из того, что
$A_1A_2:A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3$ следует, что $l_1\parallel
l_2\parallel l_3$.

{{:math-public:060.jpg?direct&300|}}