=====Общее уравнение прямой=====
$ax+by+c=0$.
====Доказательство====        
Раскроем скобки в правой части уравнения прямой по нормали и точке: $a(x-x_0)+b(y-y_0)=ax-ax_0+by-by_0=ax+by+(-ax_0+by_0)$.

Таким образом уравнение прямой можно записать в виде $ax+by+(-ax_0-by_0)=0$.

Обозначив $c=-ax_0-by_0$, получим уравнение $ax+by+c=0$, где $(a;b)$ -- нормаль к данной прямой.


=====Теорема=====
Каждое линейное уравнение в прямоугольной системе координат задает на плоскости прямую.

====Доказательство====

Пусть на плоскости введены прямоугольные координаты $x, y$ и задано линейное уравнение $ax+by+c=0$.

Покажем, что это уравнение задаёт прямую.

Если $b=0$, то $a\neq0$ (иначе уравнение не будет линейным).

Тогда данное уравнение можно записать так: $x=-\frac{c}{a}$.

Это уравнение прямой, перпендикулярной оси $Ox$.

Пусть теперь $b\neq0$.

Построим прямую, перпендикулярную вектору $\vec{n}(a;b)$, проходящую
через точку $(0; -\frac{c}{b})$.

Очевидно, эта прямая задаётся уравнением $ax+by+c=0$.