====== Окружность ====== 1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. 2. Геометрическое место точек, удаленных от заданной точки $O$ на заданное расстояние $R$, называют окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Обозначают такую окружность так: $\omega(O;R)$. ====== Касательные и хорды ====== ===== Теорема ===== Если $d$ – это расстояние от точки $O$ до прямой $l$, а $\omega$ – окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, тогда - если $d>R$, то прямая не пересекает окружность; - если $d=R$, то прямая является касательной к окружности; - если $dOH=r$ (наклонная $OM$ больше перпендикуляра $OH$), и, следовательно, точка $M$ не лежит на окружности. === Третий случай === Пусть $d>r$. В этом случае $OH>r$, поэтому для любой точки $M$ прямой $p$ $OM\geqslant OH>r$. Следовательно, точка $M$ не лежит на окружности. ===== Определение ===== - Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности. - Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей к данной окружностью. ===== Определение ===== Касательная к кривой – это предельное положение секущей. ===== Теорема о характерном свойстве касательной ===== - (Свойство касательной): касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. - (Признак касательной): если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной. [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:083.jpg|{{:math-public:083.jpg?direct&300|083.jpg}}]] ==== Доказательство ==== === Докажем первый пункт теоремы. === Пусть $p$ – касательная к окружности с центром $O$, $A$ – точка касания. Докажем, что $p\perp OA$. Предположим, что это не так. Тогда радиус $OA$ является наклонной к прямой $p$. Так как перпендикуляр, проведенный из точки $O$ к прямой $p$, меньше наклонной $OA$, то расстояние от от точки $O$ до прямой $p$ меньше радиуса. Следовательно, прямая $p$ и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию, так как $p$ – это касательная. Таким образом $p\perp OA$. === Докажем второй пункт теоремы. === Из условия следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. ===== Теорема ===== - Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. - Если прямые, проходящие через точку $M$, касаются окружности в точках $A$ и $B$, то $MA=MB$. - Если прямые, проходящие через точку $M$, касаются окружности в точках $A$ и $B$, и $AB$ пересекает $MO$ в точке $H$, то $AB\perp MO$ и $AH=HB$ [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:083.jpg|{{:math-public:083.jpg?direct&300|083.jpg}}]] ==== Доказательство ==== Рассмотрим окружность с центром в точке $O$, вписанную в угол $M$. Пусть данная окружность касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Докажем, что $\angle AMO=\angle BMO$. Действительно, треугольники $AMO$ и $BMO$ равны, по катету и гипотенузе ($OA=OB$, $OM$ – общая). Тогда $\angle AMO=\angle BMO$ и $MA=MB$. Кроме того, так как треугольник $\triangle MAB$ равнобедренный, а $MH$ – не только биссектриса угла $\angle AMB$, но и медиана и высота, то есть $AH=HB, AB\perp MO$. ===== Свойства хорд окружности ===== - Диаметр перпендикулярен хорде, тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину. - Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра. - Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы. [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:079a.jpg|{{:math-public:079a.jpg?direct&150|079a.jpg}}]] [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:079b.jpg|{{:math-public:079b.jpg?direct&150|079b.jpg}}]] [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:079c.jpg|{{:math-public:079c.jpg?direct&150|079c.jpg}}]] ==== Доказательство ==== === Докажем первый пункт теоремы. === Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой хорда $AB$ пересекает диаметр $CD$ в точке $E$. Если $E$ – это середина $AB$, то $OE$ – это медиана равнобедренного треугольника $AOB$, а, следовательно, и $OE$ – высота. Обратно, если $OE$ - высота, то и медиана. === Докажем второй пункт теоремы. === Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$. Пусть расстояния $OE$ и $OF$ до этих хорд равны. Тогда треугольники $OAE, OEB, OFD$ и $OFC$ равны по катету и гипотенузе ($OA=OB=OD=OC$, так как это радиусы). Тогда $AE=EB=DF=FC$, и, следовательно, $AB=2AE=2DF=CD$. === Докажем третий пункт теоремы. === Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$. Если $\angle AOB=\angle COD$, то $\triangle AOB=\triangle COD$ по первому признаку равенства ($CO=OB=OD=OA$, так как это радиусы), следовательно, $AB=CD$. Обратно, если $AB=CD$, то $\triangle AOB=\triangle COD$ по третьему признаку равенства, следовательно, $\angle AOB=\angle COD$. ====== Две окружности ====== ===== Теорема ===== - Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры. - Центры двух пересекающихся окружностей лежат на серединном перпендикуляре к их общей хорде. ===== Теорема о взаимном расположении двух окружностей ===== - Если $R+r - Если $R+r=d$, то окружности касаются внешним образом. - Если $R-r - Если $R-r=d$, то окружности касаются внешним образом. - Если $R-r>d$, то окружности не пересекаются, и одна окружность лежит внутри другой.