======Подобие треугольников======
====Определение====
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно
равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным
сторонам другого треугольника.
====Определение====
Число $k$ равное отношению сходственных сторон подобных
треугольников, называется коэффициентом подобия.


=====Теорема=====
Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

=====Теорема=====
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.

====Доказательство====
Пусть треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, причем коэффициент
подобия равен $k$. Обозначим буквами $S$ и $S_1$ площади этих
треугольников. Так как $\angle A=\angle A_1$, то
$\dfrac{S}{S_1}=\dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}=k^2$.
=====Следствие=====
Сходственные высоты подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.