=====Общее определение=====
  - Косинус острого угла равен отношению проекции к наклонной.
  - Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним угла, взятого с другим знаком.
  - Косинус прямого угла равен нулю.
  - Косинус развернутого угла равен минус единице.

=====Корректность определения косинуса=====
Значение косинуса угла не зависит от того, какую длину наклонной выбрать.

====Доказательство=====
===Первый способ.===
Следует из корректности определения синуса и теоремы Пифагора.

===Второй способ.===
Следует из подобия треугольников.

=====Свойства косинуса=====
  - Косинус любого угла не больше $1$ и не меньше $-1$.
  - $\cos{(180^\circ-\alpha)}=-\cos{\alpha}$.
  - При возрастании угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ косинус убывает от 1 до -1.
  - Косинус однозначно определяет угол.

{{:math-public:070a.jpg?direct&300|}} {{:math-public:070b.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
===Докажем первый пункт теоремы.===
Первое свойство следует из того, что проекция меньше наклонной.

===Докажем второй пункт теоремы.===
Второе свойство следует из того, что углы $180^\circ-\alpha$ и
$\alpha$ являются смежными.

===Докажем третий пункт теоремы.===

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке $A$ и диаметром $DE$.

Пусть на прямой $DE$ задана числовая ось с началом в точке $A$ и единичным отрезком $AE$.

Проведем радиус $AB$ и получим угол $\a BAE$ некоторой величины $\alpha$.

Пусть точка $C$ является проекцией точки $B$ на прямую $DE$.

Тогда $\cos{\alpha}=AC$ при $\alpha\leqslant 90^\circ$ и $\cos{\alpha}=-AC$ при $\alpha>90^\circ$.

Это означает, что $\cos{\alpha}$ равен координате точки $C$ на оси
$AE$.

Когда $\alpha$ возрастает $0^\circ$ до $180^\circ$ (то есть,
когда точка $B$ пробегает полуокружность от точки $E$ до точки $D$),
точка $C$ пробегает диаметр $ED$ от точки $E$ до точки $D$.

При этом координата точки $C$, то есть $\cos{\alpha}$, убывает от $1$ до
$-1$.

===Докажем четвертый пункт теоремы.===

Пусть $\cos{\alpha}=\cos{\beta}$.

Докажем, что тогда $\alpha=\beta$.

Действительно, возможно три случая:
  - $\alpha>\beta$. Тогда по пункту 3 $\cos{\alpha}<\cos{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
  - $\alpha<\beta$. Тогда по пункту 3 $\cos{\alpha}>\cos{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
  - Следовательно, остаётся только третья возможность: $\alpha=\beta$.