======Параллельные прямые======
=====Определение=====
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют
общих точек.
 
=====Аксиома=====
Через данную точку можно провести не более одной прямой,
параллельной данной.

=====Теорема=====
Если прямая пересекает одну из двух данных параллельных прямых, то
она пересекает и вторую.

====Доказательство====
Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны, и прямая $с$ пересекает прямую
$a$ в точке $M$.

Если предположить, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$, то получится, что через точку $M$ проходит две прямые,
параллельные прямой $a$, что противоречит аксиоме.


=====Теорема=====
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

====Доказательство====
Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны прямой $c$. Если предположить,
что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, то получится, что
через точку $M$ проходит две прямые, параллельные прямой $c$, что
противоречит аксиоме $\ref{aks5}$.

=====Лемма=====
Если две прямые перпендикулярны данной прямой, то они параллельны.

{{:math-public:008_1.jpg?direct&150|}}
{{:math-public:008.jpg?direct&150|}}

====Доказательство====
===Первый способ.===
Пусть $a\perp AB, b\perp AB$.

Докажем, что $a\parallel b$.

Предположим противное: $a\cap b = M$.

Выберем на прямой $a$ точку $M_1$ так, чтобы $AM=AM_1$.

Тогда $\triangle ABM=\triangle ABM_1$ по первому признаку равенства треугольников ($AM=AM_1$, $AB$ -- общая, $\angle 1=\angle MAB=90^\circ$).

Но тогда $\angle 2=\angle ABM_1=90^\circ$, следовательно, $(\angle 2+\angle ABM_1)=180^\circ$, то есть точки
$M,B,M_1$ лежат на одной прямой, а это противоречит аксиоме, так как прямые $BM$ и $a$ пересекаются в двух различных
точках $M$ и $M_1$.

===Второй способ.===
Рассмотрим прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярные прямой $PQ$.

Мысленно перегнем рисунок по прямой $PQ$.

Так как $AA_1\perp PQ$, то луч $PA$ наложится на луч $PA_1$.

Аналогично, луч $QB$ наложится на луч $QB_1$.

Поэтому, если предположить, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $M$, то эта точка
наложится на некоторую точку $M_1$, также лежащую на этих прямых, что противоречит аксиоме.

=====Признаки параллельности прямых=====
  - Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
  - Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.
  - Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

 
====Доказательство====
{{:math-public:008_2.jpg?direct&300|}}
{{:math-public:009.jpg?direct&300|}}

===Докажем первый пункт теоремы.===
Пусть при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $AB$ накрест
лежащие углы равны: $\angle 1=\angle 2$.

Докажем, что тогда $a\parallel b$.

Если $\angle 1=\angle 2=90^\circ$.

Тогда $a\parallel b$ в силу леммы.

Рассмотрим случай, когда $\angle 1=\angle 2\neq90^\circ$.

Проведем из точки $O$ -- середины отрезка $AB$ -- перпендикуляр $OH$ к прямой $a$.

От точки $B$ на прямой $b$ отложим отрезок $BH_1$ равный отрезку $AH$.

Тогда $\triangle AOH=\triangle BOH_1$ по первому признаку равенства треугольников ($AO=OB, AH=BH_1, \angle 1=\angle 2$).

Следовательно, $\angle 3=\angle 4, \angle H=\angle H_1=90^\circ$.

Из равенства $\angle 3=\angle 4$ следует, что точки $H, O$ и $H_1$ лежат на одной прямой.

Из равенства $\angle H=\angle H_1=90^\circ$ следует, что прямые $a$ и $b$ перпендикулярны к прямой $HH_1$, и следовательно, параллельны по лемме.

===Докажем второй пункт.===

Пусть при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ соответственные углы равны: $\angle 1=\angle 3$.

Покажем, что $a\parallel b$.

Действительно, $\angle 3=\angle 2$, как вертикальные.

Следовательно, $\angle 2=\angle 1$, и прямые $a$ и $b$ параллельны по первому пункту теоремы.

===Докажем третий пункт.===
Пусть при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ $\angle 1+\angle 4=180^\circ$.

Покажем, что $a\parallel b$.

Действительно, $\angle 2=180^\circ-\angle 4=\angle 1$.

Следовательно, $\angle 2=\angle 1$, и прямые $a$ и $b$ параллельны по первому пункту теоремы.
=====Свойства параллельности прямых=====
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то образованные при этом накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, и сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

{{:math-public:010.jpg?direct&300|}}


====Доказательство====
Пусть параллельные прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $MN$.

Покажем, что накрест лежащие углы, например $\angle 1$ и $\angle 2$, равны.

Предположим противное, то есть $\angle 1\neq\angle 2$.

Отложим от луча $MN$ угол $\angle PMN$, равный углу $\angle 2$, так, чтобы
$\angle PMN$ и $\angle 2$ были накрест лежащими при пересечении $MP$ и $b$ секущей $MN$.

Тогда по теореме $MP\parallel b$.

Тогда через точку $M$ проходит две прямые ($a$ и $MP$) параллельные прямой
$b$, а это противоречит аксиоме.

Значит $\angle 1=\angle 2$.

Так как $\angle 3=\angle 1$ как вертикальные, то $\angle 3=\angle 2$, то есть соответственные углы равны.

Так как $\angle 2$ и $\angle 4$ смежные, то $180^\circ=\angle 2+\angle 4=\angle 1+\angle 4$.

То есть сумма односторонних углов равна $180^\circ$.