=====Теорема=====
Площадь параллелограмма Вариньона в два раза меньше площади
исходного четырехугольника.

{{:math-public:057a.jpg?direct&300|}}
{{:math-public:057b.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
===Первый случай===
Пусть $MNPQ$ -- параллелограмм Вариньона для выпуклого
четырехугольника $ABCD$, и пусть $S_{ABCD}=S$.\\

Докажем, что
$S_{MNPQ}=\dfrac{S}{2}$.\\

Треугольники $ABC$ и $BMQ$ подобны с
коэффициентом $\dfrac{1}{2}$.\\

 Следовательно,
$S_{BMQ}=\dfrac{1}{4}S_{BAC}$. Аналогично
$S_{DNP}=\dfrac{1}{4}S_{ACD}$.\\

Тогда
$S_{BMQ}+S_{DNP}=\dfrac{1}{4}(S_{ABC}+S_{ACD})=\dfrac{1}{4}S$.\\


Аналогично $S_{CNM}+S_{QAP}=\dfrac{1}{4}S$.\\

Тогда
$S_{MNPQ}=S-S_{BMQ}-S_{DNP}-S_{CNM}-S_{QAP}=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{4}S=\dfrac{1}{2}S$.
\\

===Второй случай===
Рассмотрим случай, когда $ABCD$ -- невыпуклый четырехугольник.\\

Аналогично первому
случаю $S_{BMQ}+S_{DNP}=\dfrac{1}{4}(S_{ABC}+S_{ACD})=\dfrac{1}{4}S$.\\

Обозначим $S_1=S_{BAD}$.\\

Тогда
$S_{CMN}=\frac{1}{4}S_{BCD}=\frac{1}{4}(S+S_1)$ и
$S_{QAP}=\frac{1}{4}S_1$.\\

Тогда
$$S_{MNPQ}=S-S_{BMQ}-S_{NPD}-S_{CNM}+S_{AQP}=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{4}(S+S_1)+\dfrac{1}{4}S_1=\dfrac{1}{2}S.$$