======Площади различных многоугольников======
=====Площадь прямоугольника=====
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

{{:math-public:041.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.

Докажем, что его площадь $S=ab$.

Достроим прямоугольник $ABCD$ до квадрата $AEGK$, продлив прямую $AD$ за
точку $D$ на отрезок $DE=a$, и прямую $AB$ за точку $B$ на отрезок
$BK=b$.

Тогда $BCHK$ и $CFED$ -- это квадраты, и их площади равны
соответственно $b^2$ и $a^2$.

Кроме того, $CFGH$ -- это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, следовательно, его площадь
равна площади $ABCD$.

Обозначим площадь $ABCD$ за $S$.

Тогда
$S_{AEGK}=S_{BCHK}+S_{CFED}+2S=a^2+b^2+2S$.

С другой стороны
$S_{AEGK}=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$.

Откуда получаем, что $2ab=2S$, то
есть $S=ab$.


=====Площадь прямоугольного треугольника=====
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов.

{{:math-public:042.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $BC=a, AC=b$ и $\a C=90^\circ$. 

Докажем, что $S_{\triangle ABC}=\dfrac{ab}{2}$.

Достроим треугольник $\triangle ABC$ до прямоугольника $ADBC$.

Тогда
$S_{ADBC}=ab=2S_{\triangle ABC}$.

Следовательно, $S_{\triangle ABC}=\dfrac{ab}{2}$.

=====Площадь треугольника=====
Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон
и проведенной к ней высоты.

{{:math-public:046a.jpg?direct&150|}}
{{:math-public:046b.jpg?direct&150|}}
{{:math-public:046c.jpg?direct&150|}}

====Доказательство====
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $BH$ -- это высота.

Докажем, что $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC.$

Возможны три случая:
  - точка $H$ совпадает с одним из концов отрезка $AC$, например с точкой $C$;
  - точка $H$ принадлежит отрезку $AC$ и не совпадает с его концами;
  - точка $H$ лежит за пределами отрезка $AH$.

===Первый случай===
Пусть высота из точки $B$ падает в один из
концов отрезка $AC$, например в вершину $C$.

Тогда $BC=BH$ и $\triangle ABC$ -- прямоугольный, следовательно, по
теореме получаем $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

===Второй случай===
Пусть высота $BH$ падает внутрь отрезка $AC$.

Тогда высота $BH$ разбивает треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ABH$ и $BHC$,
следовательно, $S_{ABC}=S_{ABH}+S_{BHC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
AH+\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
(AH+HC)=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

===Третий случай===
Пусть высота $BH$ падает вне отрезка $AC$, например за точку $C$.

Тогда

$S_{ABC}=S_{ABH}-S_{BCH}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
AH-\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
(AH-CH)=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

=====Площадь параллелограмма=====
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту,
проведенную к этой стороне.

{{:math-public:043.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором сторона $AD=a$ и высота $BH=h$.

Докажем, что $S_{ABCD}=ah$.

Проведем диагональ $AC$.

По свойствам параллелограмма, диагональ делит его на два равных треугольника.

Следовательно, $S_{\triangle ABC}=S_{ADC}=\dfrac{1}{2}\cdot ah$.

Тогда $S_{ABCD}=2S_{ACD}=ah$.

=====Площадь трапеции=====
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее
оснований.

{{:math-public:044.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $BH=h$ -- высота, и основания $AD=a, BC=b$.

Докажем, что $S_{ABCD}=h\cdot\dfrac{a+b}{2}$.

Проведем диагональ $AC$.

Тогда $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot ah$, $S_{\triangle BCD}=\dfrac{1}{2} ah$, поскольку высоты этих треугольников, проведенные к сторонам $AD$ и $BC$ соответственно, равны высоте
трапеции.

Тогда $S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\dfrac{1}{2}(ah+bh)=h\cdot\dfrac{a+b}{2}$.

=====Площадь ромба=====
Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей.

{{:math-public:045.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC=d_1$ и $BD=d_2$.

Докажем, что $S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot d_1d_2$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Диагонали разбивают ромб на четыре равных треугольника $\triangle ABO,
\triangle BCO, \triangle CDO, \triangle DAO$.

Следовательно, $S_{ABCD}=4S_{ABO}=4\cdot\dfrac{1}{2}\dfrac{d_1}{2}\dfrac{d_2}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot
d_1d_2$.

=====Теорема (о площади четырехугольника с перпендикулярными диагоналями)=====
Площадь выпуклого четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна полупроизведению его диагоналей.

{{:math-public:2_046.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ в котором $AC\perp BD$.

Пусть $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$.

Обозначим $BO=a, CO=b, DO=c, AO=d$.

Тогда

$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}ad+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}bc+\dfrac{1}{2}cd=\dfrac{1}{2}(a(b+d)+c(b+d))=\dfrac{1}{2}(a+c)(b+d)=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD$

=====Теорема (о площадях боковых треугольников в трапеции)=====
Два треугольника, образованные боковыми сторонами трапеции и
отрезками ее диагоналей, равны по площади.

{{:math-public:028.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой диагонали $AC$ и $BD$
пересекаются в точке $O$.

Докажем, что $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

У этих треугольников общее основание $AD$, кроме того их
высоты, проведенные к стороне $AD$ из точек $B$ и $C$ соответственно, тоже равны. 

Следовательно, $S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$.

Но тогда $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}$.