======Правильный шестиугольник======
  - $\alpha=120^\circ$.
  - $R=a$, $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
  - $d_1=2a,\ d_2=a\sqrt{3}$
  - Малая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
  - Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны между собой, а также параллельны большой диагонали.
  - $S=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

{{:math:117.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
**1.** $\alpha=\dfrac{180^\circ(6-2)}{6}=120^\circ.$

**2.** Так как $BO$ и $CO$ -- биссектрисы, то $\angle CBO=\angle BCO=60^\circ.$

Следовательно, треугольник $BOC$ равносторонний.

Значит $R=a, r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

**3.** $\angle BOC+\angle COD+\angle DOE=3\cdot60^\circ=180^\circ.$

Следовательно, точки $B, O$ и $E$ лежат на одной прямой, значит $BE$ -- диагональ, и $BE=2R=2a$.

**4.** Четырёхугольник $OABC$ -- ромб, следовательно, $OB\perp AC$.

Четырёхугольник $OBCD$ -- ромб, поэтому $BO\parallel CD$.

Следовательно $AC\perp CD$.

**5.** $S=6\cdot S_{AOB}=6\cdot\dfrac{1}{2}a^2\sin{60^\circ}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$