=====Признаки параллелограмма=====

  - Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм.
  - Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.
  - Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм.
  - Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм.

{{:math-public:023.jpg?direct&300|}}{{:math-public:024.jpg?direct&300|}}
====Доказательство====
===Докажем первый пункт теоремы.===
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD, BC=AD$.\\

Докажем, что $ABCD$ -- параллелограмм.\\

Проведем диагональ $AC$.\\

Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по третьему признаку равенства, следовательно $\angle 3=\angle 4$.\\

Но так как эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB\parallel CD$.\\

Аналогично $\angle 1=\angle 2$, и следовательно $BC\parallel AD$.\\
А значит, $ABCD$ -- параллелограмм по определению.

===Докажем второй пункт теоремы.===
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD$ и $AB\parallel
CD$.\\

Докажем, что тогда $ABCD$ --
параллелограмм.\\

Проведем диагональ $AC$.\\

Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по второму признаку равенства ($AB=CD$, $AC$ --
общая, $\angle 3=\angle 4$, как накрест лежащие).\\

Следовательно, $BC=AD$.\\

Тогда $ABCD$ -- параллелограмм по первому пункту теоремы.
===Докажем третий пункт теоремы.===
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и при этом $AO=OC, BO=OD$.\\

Докажем, что $ABCD$ -- параллелограмм.\\

Действительно, $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, как
вертикальные, следовательно, $\triangle AOB=\triangle COD, \triangle BOC=\triangle AOD$ по второму признаку равенства.\\

Тогда $AB=CD$ и $BC=AD$, и, следовательно, $ABCD$ -- параллелограмм по первому пункту теоремы.
===Докажем четвертый пункт теоремы.===

Обозначим $\angle A=\angle C=\alpha, \angle B=\angle
D=\beta$.\\

Так как сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, то
$2\alpha+2\beta=360^\circ$, то есть $\alpha+\beta=180^\circ$.\\

Но тогда $\angle A+\angle B=180^\circ$, и, так как это односторонние
углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, $AD\parallel BC$.\\

Аналогично, $\angle A+\angle D=180^\circ$, то есть $AB\parallel CD$.\\

Таким образом $ABCD$ -- параллелограмм по определению.