=====Признаки параллелограмма===== - Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм. - Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм. - Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм. - Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм. {{:math-public:023.jpg?direct&300|}}{{:math-public:024.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== ===Докажем первый пункт теоремы.=== Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD, BC=AD$.\\ Докажем, что $ABCD$ -- параллелограмм.\\ Проведем диагональ $AC$.\\ Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по третьему признаку равенства, следовательно $\angle 3=\angle 4$.\\ Но так как эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB\parallel CD$.\\ Аналогично $\angle 1=\angle 2$, и следовательно $BC\parallel AD$.\\ А значит, $ABCD$ -- параллелограмм по определению. ===Докажем второй пункт теоремы.=== Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD$ и $AB\parallel CD$.\\ Докажем, что тогда $ABCD$ -- параллелограмм.\\ Проведем диагональ $AC$.\\ Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по второму признаку равенства ($AB=CD$, $AC$ -- общая, $\angle 3=\angle 4$, как накрест лежащие).\\ Следовательно, $BC=AD$.\\ Тогда $ABCD$ -- параллелограмм по первому пункту теоремы. ===Докажем третий пункт теоремы.=== Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и при этом $AO=OC, BO=OD$.\\ Докажем, что $ABCD$ -- параллелограмм.\\ Действительно, $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, как вертикальные, следовательно, $\triangle AOB=\triangle COD, \triangle BOC=\triangle AOD$ по второму признаку равенства.\\ Тогда $AB=CD$ и $BC=AD$, и, следовательно, $ABCD$ -- параллелограмм по первому пункту теоремы. ===Докажем четвертый пункт теоремы.=== Обозначим $\angle A=\angle C=\alpha, \angle B=\angle D=\beta$.\\ Так как сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, то $2\alpha+2\beta=360^\circ$, то есть $\alpha+\beta=180^\circ$.\\ Но тогда $\angle A+\angle B=180^\circ$, и, так как это односторонние углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, $AD\parallel BC$.\\ Аналогично, $\angle A+\angle D=180^\circ$, то есть $AB\parallel CD$.\\ Таким образом $ABCD$ -- параллелограмм по определению.