======Признаки равенства треугольников====== =====Определение===== Треугольник -- это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки. =====Определение===== Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. =====Теорема===== Пусть на прямой $AB$ точка $O$ лежит между точками $A$ и $B$. Если от лучей $OA$ и $OB$ в разные полуплоскости отложить лучи $OC$ и $OD$ соответственно так, чтобы $\angle COA=\angle DOB$, то точки $C, O$ и $D$ лежат на одной прямой. {{:math-public:008_3.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Предположим противное. Тогда продолжим луч $CO$ за точку $O$: получим луч $OC_1$ Тогда $\angle COA=\angle BOC_1$, как вертикальные, и от луча $OB$ отложены два равных угла $\angle DOB$ и $\angle COC_1$, что противоречит аксиоме. =====Первый признак равенства треугольников===== Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. {{:math-public:001.jpg?direct&200|}} ====Доказательство==== Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, \angle A=\angle A_1$. Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$. Так как $\angle A=\angle A_1$, то согласно аксиоме треугольник $ABC$ можно наложить на треугольник $A_1B_1C_1$ так, что вершина $A$ совместиться с вершиной $A_1$, а стороны $AB$ и $AC$ наложатся соответственно на лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$. В силу аксиомы, так как $AB=A_1B_1$ и $AC=A_1C_1$, то стороны $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$ совместиться. В частности совместятся точки $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$. Следовательно, по аксиоме совместятся и стороны $BC$ и $B_1C_1$. Итак, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместились. Следовательно, согласно определению, они равны. =====Второй признак равенства треугольников===== Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. {{:math-public:002.jpg?direct&200|}} ====Доказательство==== Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1, \angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$. Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$. Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A$, сторона $AB$ -- с равной ей стороной $A_1B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по одну сторону от прямой $A_1B_1$. Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, то по сторона $AC$ наложится на луч $A_1C_1$, а сторона $BC$ -- на луч $B_1C_1$. Поэтому вершина $C$ -- общая точка сторон $AC$ и $BC$ -- окажется как лежащей на луче $A_1C_1$, так и на луче $B_1C_1$ и, следовательно, совместиться с общей точкой этих лучей -- вершиной $C_1$. Значит, совместятся стороны $AC$ и $A_1C_1$, $BC$ и $B_1C_1$. Итак треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместятся. Следовательно, они равны. =====Третий признак равенства треугольников===== Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. {{:math-public:003.jpg?direct&200|}} ====Доказательство==== Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$. Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$. Приложим треугольник $ABC$ к треугольнику $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A_1$, вершина $B$ -- C вершиной $B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по разные стороны от прямой $A_1B_1$. Возможны три случая: - луч $C_1C$ проходит внутри угла $A_1C_1B_1$ - луч $C_1C$ совпадает с одной из сторон этого угла - луч $C_1C$ проходит вне угла $A_1C_1B_1$. {{:math-public:004a.jpg?direct&200|}} {{:math-public:004c.jpg?direct&200|}} {{:math-public:004b.jpg?direct&200|}} ===Рассмотрим первый случай.=== По условию теоремы $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$, следовательно, треугольники $A_1C_1C$ и $B_1C_1C$ -- равнобедренные. По теореме $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, поэтому $\angle A_1CB_1=\angle A_1C_1B_1$. Итак, $AC=A_1C_1, BC=B_1C_1, \angle C=\angle C_1$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по первому признаку равенства треугольников. ===Рассмотрим второй случай.=== Пусть луч $C_1C$ совпадает со стороной $C_1B$ угла $A_1C_1B_1$. Тогда, так как $AC=A_1C_1$, то треугольник $СA_1C_1$ равнобедренный, и ,следовательно, $\angle C=\angle C_1$. Тогда треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ равны по первому признаку равенства треугольников. ===Рассмотрим третий случай.=== Третий случай доказывается аналогично первому.