=====Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике=====
Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$
проведена высота $CH$, $AB=c, BC=a, CA=b, AH=b_c, BH=a_c$. В этих
обозначениях выполняются следующие соотношения:

  - $h=\sqrt{a_cb_c}$.
  - $h=\frac{ab}{c}$.
  - $\dfrac{a_c}{b_c}=\dfrac{a^2}{b^2}$.
  - $a^2=a_cc$.


{{:math-public:056.jpg?direct&200|}}

====Доказательство====
Докажем, что треугольники $ABC$, $ACH$ и $CHB$ подобны.\\

Из треугольника $ABC$ $\angle 2=90^\circ-\angle 1$. C другой стороны из
треугольника $CHA$ $\angle 3=90^\circ-\angle 1$, следовательно $\angle 2=\angle 3$.
Кроме того $\angle 4=90^\circ-\angle 3=\angle 1$.\\

 Следовательно, треугольники
$ABC$, $ACH$ и $CHB$ подобны по первому признаку подобия
треугольников.\\

Тогда из подобия треугольников $ABC$ и $ACH$
получаем: $\dfrac{h}{a}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{b_c}{b}$.\\

Откуда получаем,
что $h=\dfrac{ab}{c}$.\\

Из подобия треугольник $ACH$ и $BCH$ получаем:
$\dfrac{b}{a}=\dfrac{b_c}{h}=\dfrac{h}{a_c}$.\\

Откуда получаем, что $h^2=a_cb_c$ и $b_c=\dfrac{hb}{a}$.\\

Из подобия треугольников $BCH$ и
$ABC$ получаем: $\dfrac{a}{c}=\dfrac{a_c}{a}=\dfrac{h}{b}$.\\

Кроме того
$a_c=\dfrac{ha}{b}$.\\

Разделив эту формулу на формулу для $b_c$,
полученную из второй пропорции, получим
$\dfrac{a_c}{b_c}=\dfrac{a^2}{b^2}$.\\

 Кроме того из пропорции
$\dfrac{a}{c}=\dfrac{a_c}{a}$ получим, $a^2=a_c\cdot c$.