====Теорема (прямая Эйлера)====
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $Z$ -- центроид, $H$ -- ортоцентр, $O$ -- центр описанной окружности. Тогда точки $O$, $Z$ и $H$ лежат на одной прямой (в таком порядке), и $\overrightarrow{ZO}=-\frac12\overrightarrow{ZH}$.
===Доказательство===
Рассмотрим гомотетию с центром в точке $Z$ и коэффициентом $-\frac12$. Очевидно точки $A,B,C$ перейдет соответственно в точки $A_1, B_1, C_1$. 

Поскольку точка $O$ является ортоцентром треугольника $A_1B_1C_1$, то точка $H$ перейдёт в точку $O$.

Отсуда следует, что точки $H$, $Z$ и $O$ лежат на одной прямой, и кроме того $\overrightarrow{ZO}=-\frac12\overrightarrow{ZH}$.

В частности, $|ZH|=x, |ZO|=2x, |OH| = 3x$.