======Прямоугольник=======

=====Определение=====
  - Прямоугольник - это параллелограмм с прямым углом.
  - Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

{{:math-public:223.jpg?direct&300|}}
====Замечание=====
Пункты 1 и 2 определения прямоугольника эквивалентны.

====Доказательство====
Действительно, если в параллелограмме есть один прямой угол, то все
остальные его углы тоже прямые (так как противоположные стороны
параллельны).\\

Обратно, если в четырехугольнике все углы прямые, то его противоположные стороны параллельны, и, следовательно, это
параллелограмм.

=====Замечание=====
Прямоугольник наследует все свойства параллелограмма.

=====Свойство прямоугольника=====
Диагонали прямоугольника равны.\\

{{:math-public:025.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Докажем, что $AC=BD$.\\

Поскольку прямоугольник -- это частный случай параллелограмма ,то $BC=AD$.\\

Тогда треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DAB$ равны по первому признаку ($BC=AD$, $AB$ -- общая, $\angle A = \angle B=90^\circ$).

Следовательно, $AC=BD$.

=====Следствие=====
Диагонали прямоугольника разбивают его на четыре равнобедренных
треугольника.

{{:math-public:224.jpg?direct&300|}}

=====Замечание=====
Полезно понимать следующую картинку про прямоугольник. (все равные
углы, все равные отрезки).

{{:math-public:225.jpg?direct&300|}}

=====Признак прямоугольника=====
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм --
прямоугольник.

{{:math-public:226.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором $AC=BD$.\\

Докажем, что этот параллелограмм -- прямоугольник.\\

Действительно, треугольники $\tri ABC$ и $\triangle DAB$ равны по третьему признаку ($BC=AD$, $AC=BD$, $AB$ -- общая).\\

Тогда $\angle A=\angle B$. Но поскольку $\angle A+\angle B=180^\circ$,  то $\angle A=\angle B=90^\circ$.

=====Теорема=====
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

{{:math-public:227.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
{{:math-public:228.jpg?direct&300|}}

Пусть прямая $CO$ пересекает окружность в точке $D$.

Тогда $OA=OB=OC=OD$, так как это радиусы окружности.

Значит диагонали четырехугольника $ABCD$ точкой пересечения делятся пополам, а значит это параллелограмм.

Кроме того диагонали равны, а значит это прямоугольник, то есть $\angle C=90^\circ$.