=====Свойство=====
Гипотенуза прямоугольного треугольника вдвое больше медианы,
проведенной из вершины прямого угла.

{{:math-public:017.jpg?direct&300|}}



====Доказательство====
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, с прямым углом $C$ и
медианой $CM$ (тогда $AM=MB$).

Докажем, что $2\cdot CM=AB$.

===Первый способ.===

Предположим, что это не так.

Тогда $CM\neq MA$, и, следовательно, $\angle MCA \neq \angle A$.

Тогда выберем на гипотенузе $AB$ такую точку $M_1$, что $\angle M_1CA = \angle A$ (это возможно по аксиоме).

Тогда $\triangle M_1CA$ -- равнобедренный.

Кроме того $\angle B=90^\circ - \angle A=90^\circ - \angle M_1CA=\angle M_1CB$, то есть треугольник $M_1C B$ -- равнобедренный, и $M_1C=M_1B$.

Но тогда $M_1B=M_1A$, то есть $M_1$ -- середина гипотенузы $AB$, что невозможно.

{{:math-public:017_2.jpg?direct&300|}}

===Второй способ.===

Достроим треугольник $ABC$ до прямоугольника $ABCD$.

Диагонали $AB$ и $CD$ равны и точкой пересечения $M$ делятся пополам.

Следовательно, $2CM=CD=AB$.

=====Признак=====
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она
проведена, то треугольник прямоугольный.

{{:math-public:018.jpg?direct&300|}}



====Доказательство====
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $MC$ -- медиана, и $MC=MA=MB$.

Докажем, что тогда $ABC$ -- прямоугольный.

Действительно, $\triangle MCA$ и $\triangle BMC$ -- равнобедренные, следовательно, $\angle A=\angle MCA=\alpha$ и $\angle B=\angle BCM=\beta$.

Тогда $2\alpha+2\beta=180^\circ$.

Откуда получаем, что $\angle C=\alpha+\beta=90^\circ$.