======Прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов======
=====Свойство=====
Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в
$30^\circ$, равен половине гипотенузы.

{{:math-public:019.jpg?direct&300|}}


====Доказательство====
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $\angle C=90^\circ, \angle A=30^\circ$.
Докажем, что $AB=2\cdot CB$.

Пусть $CM$ -- медиана.

Тогда $CM=MA=MB$, следовательно, $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ -- равнобедренные.

Тогда $\angle A=\angle ACM$, следовательно, $\angle MCB=\angle CBM=60^\circ$.

Тогда $\triangle BCM$ -- равносторонний, следовательно, $BC=BM=\frac{1}{2}\cdot AB$.

=====Первый признак=====
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то
угол, противолежащий этому катету, равен $30^\circ$.

====Доказательство====
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C=90^\circ, BC=\frac{1}{2}\cdot AB$.

Докажем, что $\angle A=30^\circ$.

Проведем медиану $CM$. Тогда по свойству медианы прямоугольного треугольника $CM = AM = BM$. 

Тогда треугольник $CMB$ -- равносторонний, а, значит $\angle BCM = 60^\circ.$

Тогда $\angle ACM = 30^\circ$.

И поскольку треугольник $ACM$ -- равнобедренный, то $\angle A = \angle ACM = 30^\circ.$ 
=====Второй признак=====
Если в треугольнике напротив угла в $30^\circ$ лежит сторона, равная
половине другой стороны этого треугольника, то треугольник
прямоугольный.

{{:math-public:020.jpg?direct&300|}}


====Доказательство=====

===Первый способ.====

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=x, AB=2x, \angle B=30^\circ$.

Докажем, что тогда $\angle C=90^\circ$.

Предположим противное, тогда из точки $B$ можно опустить перпендикуляр $AC_1$ на прямую $CB$.

Треугольник $ABC_1$ -- прямоугольный,$\angle B=30^\circ$, следовательно, $AC_1=x$.

Тогда $\triangle CAC_1$ -- равнобедренный, и $\angle C_1=\angle ACC_1=90^\circ$, что невозможно.

Значит, $\angle C=90^\circ.$

{{:math-public:020_2.jpg?direct&300|}}


===Второй способ.===

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=x, AB=2x, \angle B=30^\circ$.

По теореме синусов для $\triangle ABC$: $\dfrac{x}{\sin{30^\circ}}=\dfrac{2x}{\sin{\angle C}}$.

Тогда $\sin{\angle C}=1$, то есть $\angle C=90^\circ$.