====Лемма====
Если $O$ - центр описанной окружности $\triangle ABC$, то
$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.


{{:math-public:113.jpg?direct&300|}}


====Доказательство====
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором точка $O$ -- центр описанной
окружности, точка $H$ -- ортоцентр, $D$ -- середина стороны $AC$,
$BB_1$ -- высота.

Отложим на серединном перпендикуляре $OD$ точку $E$ так, чтобы $DE=OD$.

Тогда $AOCE$ -- параллелограмм (так как диагонали точкой пересечения делятся пополам), а, следовательно,
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$.

Кроме того прямые $BH$ и $OE$ перпендикулярны стороне $BC$, следовательно $BH\parallel OE$.

Кроме того по теореме \ref{117} $BH=2OD=OE$.

Следовательно, $BOEH$ -- параллелограмм, а значит $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OH}$. 

Таким образом $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$.

=====Теорема=====
$OH=\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ , где  $R$ -- радиус описанной
окружности; $a,b,c$ -- длины сторон треугольника.

{{:math-public:114.jpg?direct&300|}}



====Доказательство====
Рассмотрим остроугольный треугольник $ABC$, около которого описана окружность с
центром $O$. Центральный угол $BOC$ и вписанный угол $BAC$ опираются
на дугу $BC$, поэтому $\angle BAC=2\cdot\angle BOC$.  Кроме того по
обобщённой теореме синусов верны соотношения $a=2R\sin{A},
b=2R\sin{B}, c=2R\sin{\gamma}$.  Учитывая эти соотношения, а так же
теорему \ref{119}, получаем

$OH^2=\overrightarrow{OH}^2=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2=$

$=OA^2+OB^2+OC^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=$

$=3R^2+2R^2\cos{2A}+2R^2\cos{2B}+2R^2\cos{2C}=$

$=3R^2+2R^2(1-2\sin^2{A})+2R^2(1-2\sin^2{B})+2R^2(1-2\sin^2{C})=$

$=9R^2-(4R^2\sin^2{A}+4R^2\sin^2{B}+4R^2\sin^2{C})=9R^2-(a^2+b^2+c^2).$

Если треугольник тупоугольный с тупым углом $\angle A$, то $\angle BAC=360^\circ-2\cdot\angle BOC$, но доказательства это не меняет, так как $ \cos{(360^\circ-2x)} = \cos{2x}$.

Если треугольник прямоугольный с прямым углом $\angle A$, то $\angle BOC = 180^\circ = 2\cdot \angle A$, и доказательство  не меняется.
===== Следствие =====
С учетом теоремы о прямой Эйлера, получаем:

$OZ = \dfrac{1}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$\\
$ZH = \dfrac{2}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$