======Равнобедренный треугольник======
=====Свойства равнобедренного треугольника=====

  - Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  - Медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают.

{{:math-public:005.jpg?direct&200|}}

====Доказательство====
Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$.

Пусть $AD$ -- биссектриса этого треугольника.

Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников $(AB=AC, AD$ --
общая, $\angle 1=\angle 2)$.

Следовательно, $\angle B=\angle C$.

Кроме того, $\angle 3=\angle 4$, а поскольку они смежные, то каждый из них является прямым, то есть $AD$ -- высота. 

Из равенства этих треугольников следует, что $BD=DC$.

Следовательно $AD$ -- не только биссектриса и высота, но и медиана.
=====Признаки равнобедренного треугольника=====
  - Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
  - Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
  - Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
  - Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
  
{{:math-public:005.jpg?direct&200|}}

 
====Доказательство====
Рассмотрим треугольник $ABC$.

===Докажем первый пункт теоремы===
Докажем, что если $\angle B=\angle C$, то $AB=AC$.

===Первый способ.===
Поскольку $\angle B$ и $\angle C$ острые (иначе сумма углов
треугольника $ABC$ была бы больше $180^\circ$), то высота,
проведенная из вершины $A$ падает на сторону $BC$.

Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle 1=180^\circ-90^\circ-\angle B=180^\circ-90^\circ-\angle C=\angle 2$.

Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников $(\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4, AD$-- общая сторона$)$.

Тогда $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

===Второй способ.===

Если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).

Итак $AB=AC$.

===Докажем второй пункт теоремы===
Докажем теперь, что если $AD$ -- медиана и высота, то треугольник равнобедренный.

Действительно, так как $BD=DC, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ -- общая сторона, то треугольники $ABD$
и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников.

Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

===Докажем третий пункт теоремы===
Докажем, что если $AD$ -- биссектриса и высота для $\triangle ABС$, то треугольник равнобедренный.

Действительно, так как $\angle 1 =\angle 2, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ -- общая сторона, то
треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников.

Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.


{{:math-public:007.jpg?direct&200|}}


===Докажем четвертый пункт теоремы===
Докажем, что если $AD$ -- медиана и биссектриса, то треугольник
равнобедренный.

Предположим противное -- треугольник $ABC$ не равнобедренный, и, следовательно, $AD$ не
высота.

Проведем через точку $D$ прямую $l$ перпендикулярно $AD$.

Обозначим точки пересечения прямой $l$ с прямыми $AB$ и $AC$ как $M$
и $N$ соответственно.

Треугольник $AMN$ -- равнобедренный, так как $AD$ -- биссектриса и высота этого треугольника. 

Тогда $AD$ -- медиана треугольника $AMN$, то есть $MD=ND$.

Тогда треугольники $BMD$ и $CND$ равны по первому признаку $(\angle BDM=\angle CDN$ как
вертикальные, $BD=DC, MD=ND)$.

Тогда $\angle 4=\angle 5$, и, следовательно, прямые $AB$ и $AC$ параллельны, что невозможно.