======Ромб======
=====Определение=====
Ромб -- это четырехугольник, у которого все стороны равны.

{{:math-public:229.jpg?direct&150|}}
=====Замечание=====
Ромб является частным случаем параллелограмма, так как его
противоположные стороны попарно равны (третий признак).
=====Замечание=====
Ромб наследует все свойства параллелограмма.

=====Свойства ромба=====

  - Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
  - Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

{{:math-public:026_1.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
{{:math-public:026.jpg?direct&300|}}

Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются
в точке $O$.\\

Докажем, что они перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Действительно, так как $ABCD$ -- частный случай параллелограмма, то диагонали точкой пересечения
делятся пополам, то есть $AO=OC, BO=OD$.

Тогда, так как $AB=BC=CD=DA$, то $\triangle AOB=\triangle BOC=\triangle COD=\triangle AOD$ по третьему
признаку равенства.

Тогда $\angle 1=\angle 2=90^\circ$, так как это смежные
углы.

Кроме того, $\angle 3=\angle 4=\angle 5=\angle 6$, $\angle 7=\angle 8=\angle 9=\angle 10$.

Таким образом диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами
углов ромба.

=====Следствие=====
Диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных
треугольника.

=====Признаки ромба=====
  - Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм -- ромб.
  - Если одна из диагоналей параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм -- ромб.
  - Если в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$, а диагональ $BD$ является биссектрисой углов $B$ и $D$, то $ABCD$ -- ромб.

{{:math-public:027.jpg?direct&150|}}{{:math-public:027b.jpg?direct&150|}}{{:math-public:027cc.jpg?direct&150|}}

====Доказательство====
===Докажем первый пункт теоремы.===

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$,
в котором $AC\perp BD$.

Докажем, что $ABCD$ -- ромб.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся
пополам, следовательно, $AO=OC, BO=OD$.

Кроме того, $\angle 1=\angle 2=90^\circ$.

Тогда $\triangle AOB=\triangle AOD$ по первому признаку равенства.

Следовательно $AB=AD$.

А так как $ABCD$ -- параллелограмм, то $BC=AD=AB=CD$, то есть $ABCD$ -- ромб.

===Докажем второй пункт теоремы.===
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ
$AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, то есть $\angle 1=\angle 2$.

Докажем, что $ABCD$ -- ромб. 

$\angle 2=\angle 3$, как
накрест лежащие, следовательно, $\angle 1=\angle 3$. 

То есть $\triangle ABC$ -- равнобедренный и $AB=BC$.

А так как $ABCD$ -- параллелограмм, то
$AB=CD, BC=AD$, то есть $AB=BC=CD=AD$, и $ABCD$ -- ромб.

===Докажем третий пункт теоремы===
Заметим, что $\triangle ABC=\triangle ADC$ по второму признаку ($\angle 1=\angle 2, \angle
3=\angle 4$, $AC$ -- общая).

Тогда $\angle B=\angle D$, а следовательно, равны и их половины: $\angle 5=\angle
6=\angle7=\angle 8$.

Но тогда треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ -- равнобедренные: $AB=AD, BC=CD$.

Кроме того $\triangle ABD=\triangle BCD$ по второму признаку ($BD$ -- общая, $\angle 5=\angle6, \angle 7=\angle 8$).

А значит $AB=BC$ и $AD=CD$.

Таким образом все стороны четырёхугольника равны между собой: $AB=BC=CD=DA$.