======Сдвиг функции======
=====Теорема 1=====
Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=f(x)+a$ при $a>0$ , нужно сдвинуть изначальный график вверх на $a$.
====Доказательство====
Пусть точка $A(x_0;y_0)$ принадлежит графику $y=f(x)$, т.е. $y_0=f(x_0)$.

Тогда точка $A'(x_0; y_0+a)$, которая лежит на $a$ выше, будет принадлежать графику $y=f(x)+a$. 

Действительно, если подставить координаты точки $A'$ в уравнение $y=f(x)+a$, то получится верное равенство: $y_0+a=f(x_0)+a$.

Таким образом точка $A(x_0;y_0)$ перешла в точку $A'(x_0; y_0+a)$.

То есть ордината точки увеличилась на $a$, что соответствует сдвигу вверх на $a$.


=====Теорема 2=====
Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=f(x)-a$ при $a>0$ , нужно сдвинуть изначальный график вниз на $a$.

====Доказательство====
Пусть точка $A(x_0;y_0)$ принадлежит графику $y=f(x)$, т.е. $y_0=f(x_0)$.

Тогда точка $A'(x_0; y_0-a)$, которая лежит на $a$ ниже, будет принадлежать графику $y=f(x)+a$. 

Действительно, если подставить координаты точки $A'$ в уравнение $y=f(x)-a$, то получится верное равенство: $y_0-a=f(x_0)-a$.

Таким образом точка $A(x_0;y_0)$ перешла в точку $A'(x_0; y_0-a)$.

То есть ордината точки уменьшилась на $a$, что соответствует сдвигу вниз на $a$.