=====Определение=====
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется
средней линией трапеции.
=====Свойства средней линии трапеции=====
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их
полусумме.

{{:math-public:038.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой проведена средняя линия $MN$.

Докажем, что $MN\parallel AD$ и $MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Проведем через точку $M$ прямую $FE$ параллельно $CD$ ($F\in CB, E\in AD$).

Тогда $FCDE$ -- параллелограмм ($FC\parallel ED, FE\parallel CD$).

Следовательно, $FE=CD$, $FC=ED$.

Кроме того $\triangle FBM=\triangle AME$, по второму признаку равенства ($\angle
1=\angle 2$, как накрест лежащие, $\angle 3=\angle 4$, как вертикальные,
$AM=MB$, так как $M$ -- середина).

Следовательно, $FM=ME$.

Тогда $FMNC$ и $MNDE$ - параллелограммы ($FM=ME=ND=NC$ и $FE\parallel
CD$).

Следовательно, $MN\parallel BC$.

Кроме того, из равенства треугольников $\triangle FBM=\triangle AME$ следует,что $FB=AE$. 

Пусть $FB=AE=x$ и $BC=y$.

Тогда $FC=ED=x+y$.

Следовательно, $MN=x+y$.

Кроме того, $BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$.

Таким образом, $MN=x+y=\dfrac{BC+AD}{2}$.

=====Признаки средней линии трапеции=====
  - Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $M$ -- середина боковой стороны, и $MN$ параллелен основаниям трапеции, то $MN$ -- это средняя линия трапеции.
  - Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $MN$ параллелен основанием трапеции и равен их полусумме, то $MN$ -- средняя линия трапеции.

{{:math-public:040.jpg?direct&300|}}


====Доказательство====
Первый пункт теоремы является прямым следствием теоремы Фалеса.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой на боковых сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно, и при этом $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$.

Докажем, что тогда $MN$ -- средняя линия трапеции $ABCD$.

Предположим противное, то есть $MN$ -- не средняя линия данной трапеции.

Если ровно одна из точек $M$ или $N$ является серединой, то по первому пункту теоремы $MN$ -- это средняя линия, так как $MN$ параллельна основаниям трапеции.

Пусть точки $M$ и $N$ -- не середины боковых сторон.

Тогда пусть $M'N'$ -- средняя линия трапеции.

Следовательно, $M'N'=\frac{BC+AD}{2}=MN$ и $MN\parallel BC\parallel MN$.

Но тогда $MNN'M'$ -- параллелограмм, и, следовательно, $MM'\parallel NN'$, что противоречит тому, что $ABCD$ -- это трапеция.

Следовательно, $MN$ -- средняя линия.

=====Теорема (об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции)=====
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен
полуразности ее оснований.

{{:math-public:039.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой точки $E$ и $F$ -- это
середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.

Докажем, что $EF=\frac{AD-BC}{2}$.

По теореме Фалеса средняя линия трапеции $MN$ делит диагонали $AC$ и $BD$ пополам, то есть точки $E$ и $F$ лежат на средней линии.

Тогда $ME$ и $FN$ -- это средние линии треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$.

Следовательно, если обозначить $BC=2x$, то $ME=FN=x$.

Тогда $EF=\frac{2x+AD}{2}-x-x=\frac{AD-2x}{2}=\frac{AD-BC}{2}$.