=====Свойства параллелограмма=====
  - В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
  - Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

{{:math-public:218.jpg?direct&200|}}{{:math-public:219.jpg?direct&200|}}
====Доказательство.====
===Докажем первый пункт теоремы.===
{{:math-public:023.jpg?direct&300|}}

Проведем в параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$.\\

По определению параллелограмма $AB\parallel CD$ и $BC\parallel AD$.\\

Следовательно, $\angle 1=\angle 2, \angle
3=\angle 4$.\\

Тогда треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по второму признаку
равенства ($AC$ -- общая).\\

Следовательно, $AB=CD, BC=AD$.\\


===Докажем второй пункт теоремы.===
{{:math-public:024.jpg?direct&300|}}

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке
$O$.\\

По определению параллелограмма $AB\parallel CD$, следовательно, $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, как накрест лежащие.\\

Кроме того $AB=CD$ по первому пункту теоремы, следовательно, $\triangle
ABO=\triangle CDO$.\\

Из равенства этих треугольников следует, что $AO=OC$ и $BO=OD$. 
=====Замечание=====
Полезно иметь ввиду, что
  - Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
  - Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  - Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников.