======Сжатие и растяжение функции======
=====Теорема 1=====
Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=af(x)$ при $a>1$ , нужно растянуть изначальный график в $a$ раз от оси $Ox$.



====Доказательство====
Пусть точка $A(x_0;y_0)$ принадлежит графику $y=f(x)$, т.е. $y_0=f(x_0)$.

Тогда подстановкой легко проверить, что точка $A'\left(x_0; ay_0\right)$ будет принадлежать графику $y=af(x)$. 

Действительно, $af(x_0)=ay_0$.

Таким образом точка $A(x_0;y_0)$ перешла в точку $A'\left(x_0; ay_0\right)$, которая лежит в $a$ раз дальше от оси $Ox$.

То есть модуль ординаты точки увеличился в $a$ раз, что соответствует растяжению графика в $a$ раз от оси $Ox$.


=====Теорема 2=====
Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=\dfrac{1}{a}\cdot f\left(x\right)$ при $a>1$ , нужно сжать изначальный график в $a$ раз к оси $Ox$.

====Доказательство====
Пусть точка $A(x_0;y_0)$ принадлежит графику $y=f(x)$, т.е. $y_0=f(x_0)$.

Тогда точка $A'\left(x_0; \dfrac{y_0}{a}\right)$, которая лежит в $a$ раз ближе к оси $Ox$, будет принадлежать графику $y=\dfrac{1}{a}\cdot f\left(x\right)$. 

Действительно, $\dfrac{1}{a}\cdot f\left(x_0\right)=\dfrac{y_0}{a}$.

Таким образом точка $A(x_0;y_0)$ перешла в точку $A'\left(x_0; \dfrac{y_0}{a}\right)$.

То есть модуль ординаты точки уменьшился в $a$ раз, что соответствует сжатию графика в $a$ к оси $Ox$.