======Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее======
=====Теорема=====
Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.


{{:math-public:013.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$.

Докажем, что $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$.

Проведем через вершину $B$ прямую $a$, параллельную стороне $AC$. 

Тогда $\angle 1=\angle 4, \angle 3=\angle 5$, как накрест лежащие.

Тогда $\angle1 + \angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 2+\angle 5=180^\circ$.

=====Следствие=====
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним.

{{:math-public:012.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ смежные, поэтому
$\angle 4=180^\circ-\angle 3=180^\circ-(180^\circ-\angle1-\angle
2)=\angle 1+\angle2$.

=====Теорема=====
Если биссектрисы углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в
точке $M$, то $\angle BMC=90^\circ+\frac{1}{2}\angle A$.

=====Теорема=====
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

=====Следствие=====
Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и
секущей перпендикулярны.