=====Теорема Чевы=====
Чевианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в
одной точке тогда и только тогда, когда
$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$.

{{:math-public:063a.jpg?direct&300|}}
{{:math-public:063b.jpg?direct&300|}}

====Доказательство.====
===Докажем прямую теорему.===
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором чевианы $AA_1, BB_1$ и
$CC_1$ пересекаются в точке $O$.\\

Докажем, что тогда
$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$.\\

Треугольники $AOB$ и $BOC$  имеют общее основание $BO$,
следовательно, их площади относятся, как высоты проведенные из
вершин $A$ и $C$ соответственно.\\

Треугольники $AOB_1$ и $B_1OC$ имеют общее основание $B_1O$, следовательно, их площади относятся,
как высоты проведенные из вершин $A$ и $C$ соответственно.\\

Следовательно $\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\dfrac{S_{AOB_1}}{S_{B_1OC}}$.\\

Кроме того, треугольники $AOB_1$ и $COB_1$ имеют общую высоту,
проведенную из вершины $O$, следовательно,
$\dfrac{S_{AOB_1}}{S_{B_1OC}}=\dfrac{AB_1}{B_1C}$.\\

Тогда $\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\dfrac{AB_1}{B_1C}$.\\

Аналогично $\dfrac{S_{AOC}}{S_{AOB}}=\dfrac{CA_1}{A_1B}$ и
$\dfrac{S_{BOC}}{S_{AOC}}=\dfrac{BC_1}{C_1A}$.\\

Перемножая эти
равенства, получим:
$\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot\dfrac{CA_1}{A_1B}\cdot\dfrac{BC_1}{C_1A}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOC}}\cdot\dfrac{S_{AOC}}{S_{AOB}}\cdot\dfrac{S_{BOC}}{S_{AOC}}=1$.\\


===Докажем обратную теорему.===

Пусть $O$ -- точка пересечения чевиан
$AA_1$ и $BB_1$ в треугольнике $ABC$.\\

Пусть прямая $CO$ пересекает
сторону $AB$ в точке $C_2$.\\

Докажем, что если
$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$,
то $C_2=C_1$.\\

Так как чевианы $AA_1, BB_1$ и $CC_2$ пересекаются
в одной точке, то по первой части доказательства 
$\dfrac{AC_2}{C_2B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$.\\

Но тогда
$\dfrac{AC_2}{C_2B}=\dfrac{A_1C}{BA_1}\cdot\dfrac{B_1A}{CB_1}=\dfrac{AC_1}{C_1B}{}$,
что и означает, что $C_1=C_2$.

====Замечание====
Можно доказать через теорему Менелая или через подобие.