=====Теорема Фалеса=====
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько
равных отрезков, а потом через их концы провести параллельные
прямые, то они отсекут на другой прямой равные отрезки.

{{:math-public:036.jpg?direct&300|}}
{{:math-public:036b.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Пусть параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и
$b$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и $B_1, B_2, B_3$ соответственно.

Пусть при этом $A_1A_2=A_2A_3$.

Докажем, что тогда $B_1B_2=B_2B_3$.

===Рассмотрим случай, когда прямые a и b параллельны.===

Тогда $A_2A_1B_1B_2$ и $A_3A_2B_2B_3$ -- параллелограммы. 

Следовательно, $A_1A_2=B_1B2$ и $A_2A_3=B_2B_3$, и
так как $A_1A_2=A_2A_3$, то $B_1B_2=B_2B_3$.

===Рассмотрим случай, когда прямые a и b не параллельны.===

Проведем через точку $B_1$ прямую $c$, параллельную прямой $a$.

Пусть прямые $l_2,l_3,l_4$ и прямая $c$ пересекаются в точках $C_2, C_3, C_4$.

По первому случаю $B_1C_2=C_2C_3$, кроме того $B_2C_2\parallel B_3C_3$.

Тогда $B_2C_2$ -- средняя линия $\triangle B_1C_3B_3$, то есть $B_1B_2=B_2B_3$.

=====Замечание=====
Утверждение обратное теореме Фалеса неверно.

То есть, из того, что прямые прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и $b$ в точках
$A_1, A_2, A_3$ и $B_1, B_2, B_3$ соответственно, и при этом
$A_1A_2=A_2A_3$ и $B_1B_2=B_2B_3$, не следует, что прямые $l_1, l_2$
и $l_3$ параллельны.

{{:math-public:037.jpg?direct&300|}}