======Углы в окружности====== =====Определение===== Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. =====Определение===== Градусной мерой дуги окружности называется величина центрального угла, который соответствует этой дуге. =====Определение===== Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. =====Теоерема о вписанном угле===== Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. {{:math-public:084a.jpg?direct&150|}} {{:math-public:084b.jpg?direct&150|}} {{:math-public:084c.jpg?direct&150|}} ====Доказательство==== Пусть $\a ABC$ -- вписанный угол окружности с центром $O$, опирающийся на дугу $AC$. Докажем, что $\angle ABC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$. Рассмотрим три возможных случая расположения луча $BO$ относительно угла $ABC$. ===Первый случай.=== Пусть луч $BO$ совпадает с одной из сторон угла $ABC$, например со стороной $BC$. В этом случае дуга $AC$ меньше полуокружности, поэтому $\a AOC=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$. Так как угол $AOC$ -- внешний угол равнобедренного треугольника $ABO$, и $\angle 1=\angle 2$, как углы при основании равнобедренного треугольника, то $\angle AOC=\angle 1+\angle 2=2\angle 1$. Отсюда следует, что $2\angle 1=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ или $\angle ABC=\angle 1=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$. ===Второй случай.=== Пусть луч $BO$ делит угол $ABC$ на два угла. В этом случае луч $BO$ пересекает дугу $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ в некоторой точке $D$. Точка $D$ разделяет дугу $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ на две дуги: $\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ и $\buildrel\,\,\frown\over{DC}$. По первому случаю $\angle ABD=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ и $\angle DBC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DC}$. Складывая эти равенства, получим: $\angle ABD+\angle DBC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}+\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DC}=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$. ===Третий случай.=== Пусть луч $BO$ пересекает окружность в точке $D$, при этом луч $BC$ разбивает угол $ABD$ на два угла. Точка $C$ разделяет дугу $\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ на две дуги: $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ и $\buildrel\,\,\frown\over{CD}$. По первому случаю $\angle ABD=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ и $\angle DBC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DC}$. Вычитая эти равенства, получим: $\angle ABD-\angle CBD=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}-\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{CD}=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$. =====Следствие===== Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. {{:math-public:085.jpg?direct&200|}} =====Следствие===== Вписанный угол, опирающийся на диаметр -- прямой. {{:math-public:086.jpg?direct&300|}} =====Теорема===== - Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами. - Угол между двумя пересекающимися секущими данной окружности равен полуразности дуг, высекаемых этими секущими. - Угол между двумя пересекающимися касательными к окружности равен $180^\circ-\alpha$, где $\alpha$ -- градусная мера меньшей из дуг, образованных точками касания. - Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними. - Угол между касательной и секущей, равен полуразности дуг, которые они высекают. {{:math-public:080a.jpg?direct&150|}} {{:math-public:080b.jpg?direct&150|}} {{:math-public:080c.jpg?direct&150|}} {{:math-public:080d.jpg?direct&150|}} {{:math-public:3_169.jpg?direct&150|}} ====Доказательство==== ===Докажем первый пункт теоремы.=== Пусть хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$. Обозначим $\angle \varphi=\angle AED, \alpha=\buildrel\,\,\frown\over{AD}, \beta=\buildrel\,\,\frown\over{BC}$. Докажем, что $\angle \varphi=\frac{\alpha+\beta}{2}$. Углы $ABD$ и $CDB$ -- вписанные, поэтому $\angle ABD=\frac{\alpha}{2}, \angle CDB=\frac{\beta}{2}$. Кроме того $\angle \varphi$ -- внешний угол треугольника $EBD$, поэтому $\angle \varphi=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}$. ===Докажем второй пункт теоремы.=== Пусть секущие $PB$ и $PD$ пересекают окружность $\omega$ в точках $A$ и $C$ соответственно. Обозначим $\alpha = \buildrel\,\,\frown\over{BD}, \beta=\buildrel\,\,\frown\over{AC}, \angle \varphi=\angle P$. Докажем, что тогда $\varphi=\frac{\alpha-\beta}{2}$. Углы $BAD$ и $ADC$ -- вписанные, поэтому $\angle BAD=\frac{\alpha}{2}, \angle ADC=\frac{\beta}{2}$. Кроме того $\angle BAD$ -- внешний угол треугольника $PAD$, следовательно, $\frac{\alpha}{2}=\angle \varphi+\frac{\beta}{2}$, откуда $\angle \varphi=\frac{\alpha-\beta}{2}$. ===Докажем третий пункт теоремы.=== Пусть из точки $P$ к окружности с центром $O$ проведены две касательные $PA$ и $PB$ ($A$ и $B$ -- точки касания). Обозначим $\buildrel\,\,\frown\over{AB}=\alpha$. Угол $AOB$ -- центральный, поэтому $\angle AOB=\alpha$. Кроме того $\angle PAO=\angle PBO=90^\circ$. Поскольку сумма углов четырехугольника $PAOB$ равна $360^\circ$, то $\angle P=\angle \varphi=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\alpha=180^\circ-\alpha$. ===Докажем четвертый пункт теоремы.=== Пусть прямая $PC$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$. Кроме того пусть проведена хорда $AB$. Обозначим $\alpha=\buildrel\,\,\frown\over{AB}$. Докажем, что тогда $\angle PAB=\frac{\alpha}{2}$. Угол $AOB$ центральный, поэтому он равен $\alpha$. Кроме того, треугольник $AOB$ равнобедренный, следовательно, $\angle OAB=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}$. Угол $OAP$ равен $90^\circ$, так как это угол между касательной и радиусом. Тогда $\angle \varphi=\angle PAB=90^\circ-(90^\circ-\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}$. ===Докажем пятый пункт теоремы.=== Пусть секущая $PB$ пересекает окружность в точке $A$, $PC$ -- касательная. Обозначим $\alpha=\buildrel\,\,\frown\over{BC}$, $\beta=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$, $\varphi=\angle APC$. Докажем, что тогда $\varphi=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$. Угол $\angle BAC$ равен половине дуги $\buildrel\,\,\frown\over{BC}$, то есть $\angle BAC=\dfrac{\alpha}{2}$. Угол $\angle ACP$ -- это угол между касательной и хордой, следовательно он равен половине дуги $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$, то есть $\angle ACP=\dfrac{\beta}{2}$. Угол $\angle BAC$ -- внешний для треугольника $\triangel PAC$, следовательно $\angle BAC=\angle APC+\angle PCA$, или иначе $\dfrac{\alpha}{2}=\varphi+\dfrac{\beta}{2}$. Откуда $\varphi=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$.