=====Уравнение по двум точкам=====
$\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}$, при условии, что $y_2\neq y_1$ и $x_2\neq x_1$.
====Доказательство====       
Если точка $A$ имеет координаты $(x_1;y_1)$, а точка $B$ имеет координаты $(x_2;y_2)$, то в качестве направляющего вектора прямой $AB$ можно взять вектор $\overrightarrow{AB}$ с координатами $(x_2-x_1;y_2-y_1)$.

Таким образом положив в уравнении прямой по точке и направляющему вектору $p=x_2-x_1, q=y_2-y_1, x_0=x_1,
y_0=y_1$, получим $\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}$.