=====Векторное уравнение прямой=====

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}$, где $X$ -- переменная точка прямой $AB$.



|{{:math-public:149-1.jpg?direct&|}}|{{:math-public:149-2.jpg?direct&|}}|{{:math-public:149-3.jpg?direct&|}}|
^  //рис. 1a//  ^  //рис. 1b//  ^  //рис. 1c//  ^
====Доказательство====       
Пусть $X$ -- произвольная точка прямой $AB$.

Тогда вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны, и, следовательно существует такое число $t$, что $\overrightarrow{AX}=t\cdot \overrightarrow{AB}$.

Тогда, взяв произвольную точку $O$, можно написать $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{OA}+t\cdot
\overrightarrow{AB}$.

Таким образом для произвольной точки $X$ прямой $AB$ можно написать уравнение $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}$.

При этом очевидно, что для каждого числа $t$ существует единственная точка $X$, для которой равенство будет верно, и наоборот.

=====Вторая векторная форма уравнения прямой=====
$\overrightarrow{OX}=(1-t)\cdot \overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{OB}$, где $X$ -- переменная точка прямой $AB$, причем
  - $X$ лежит между точками $A$ и $B$, если $0<t<1$
  - $X$ лежит за точкой $B$, если $t>1$
  - $X$ лежит за точкой $A$, если $t<0$
  - $X$ совпадает с точкой $A$, если $t=0$
  - $X$ совпадает с точкой $B$, если $t=1$.
====Доказательство====   
Преобразуем правую часть данного уравнения: $\overrightarrow{OX}=(1-t)\cdot \overrightarrow{OA}+t\cdot
\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+t\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}+t\cdot
\overrightarrow{AB}$.

То есть $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AB}$.

Тогда, перенеся вектор $\overrightarrow{OA}$ в правую часть и преобразовав разность по правилу треугольника,
получим $\overrightarrow{AX}=t\cdot \overrightarrow{AB}$.

Откуда в силу определения умножения вектора на число ясно, что точка $X$ лежит между точками $A$ и $B$, если $0<t<1$, лежит за точкой $B$, если $t>1$, лежит за точкой $A$, если $t<0$, совпадает с точкой $A$, если $t=0$, совпадает с точкой $B$, если $t=1$.