$\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$
 
======Скалярное умножение векторов======
=====Определение=====
Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки.
 
=====Определение=====
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей и косинуса угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение полагают равным нулю.
 
=====Определение=====
Скалярным квадратом вектора называется его произведение самого на себя. 

=====Теорема=====
Для любых двух ненулевых векторов их скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны.
 
====Доказательство==== 
Пусть $\alpha=\angle (\vec{a};\vec{b})$.

Если $\alpha=90^\circ$, то $\cos{\alpha}=0$, следовательно $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\alpha}=0$.

Если $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$, то $|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\alpha}=0$.

Но поскольку $|\vec{a}|\neq0$ и $|\vec{b}|\neq 0$ по условию, то $\cos{\alpha}=0$.

А значит, $\alpha=90^\circ$.
 

=====Скалярное произведение в координатах=====
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.


{{:math-public:148a.jpg?direct&150|}}
{{:math-public:148b.jpg?direct&150|}}
{{:math-public:148c.jpg?direct&150|}}

====Доказательство==== 
Если хотя бы один из векторов $\vec{a}$ или $\vec{b}$ нулевой, то справедливость теоремы очевидна.

Рассмотрим случай, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые.

Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$.

Пусть $\alpha=\angle (\vec{a};\vec{b})$.

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то по теореме косинусов $AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos{\alpha}$.

Это равенство верно и в том случае, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Действительно, если $\vec{a}\upuparrows \vec{b}$, то $AB^2=(OA-OB)^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos{0^\circ}=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos{\alpha}$.

Если же $a\updownarrows b$, то $AB^2=(OA+OB)^2=OA^2+OB^2+2OA\cdot OB=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos{180^\circ}=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos{\alpha}$.

Так как $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}, \overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB}=\vec{b}$, то равенство \eqref{eq008} можно записать так: $|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}^2|-2\vec{a}\cdot \vec{b}$.

Откуда $\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2)$.

Векторы $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{b}-\vec{a}$ имеют координаты $(x_1; y_1), (x_2; y_2)$ и
$(x_2-x_1; y_2-y_1)$.

Поэтому $|\vec{a}|^2=x_1^2+y_1^2, |\vec{b}|^2=x_2^2+y_2^2, |\vec{b}-\vec{a}|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$.

Подставив эти выражения в правую часть равенства \eqref{eq009}, получим
$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}\left(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-x_1^2-x_2^2+2x_1x_2-y_1^2-y_2^2+2y_1y_2\right)=x_1x_2+y_1y_2$.
 
=====Свойства скалярного произведения=====
  - $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$;
  - $(k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$;
  - $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$.
 
====Доказательство==== 
Первое свойство очевидно в силу определения скалярного произведения.

Действительно, $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\angle (\vec{a};\vec{b})}=|\vec{b}||\vec{a}|\cos{\angle (\vec{b};\vec{a})}=\vec{b}\cdot \vec{a}$. 

Докажем второе свойство, используя теорему \ref{149}.

Пусть $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1;y_1)$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2;y_2)$.

Тогда вектор $(k\vec{a})\cdot\vec{b}=kx_1;ky_1)\cdot(x_2;y_2)=kx_1x_2+ky_1y_2=k(x_1x_2+y_1y_2)=k\vec{a}\cdot\vec{b}$. 

Докажем третье свойство, используя теорему \ref{149}. 

Пусть вектор $a$ имеет координаты $(x_a;y_a)$, вектор $b$ имеет координаты $(x_b;y_b)$, вектор $c$ имеет координаты $(x_c;y_c)$.

Тогда $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=(x_a+x_b;y_a+y_b)\cdot(x_c;y_c)=(x_a+x_b)x_c+(y_a+y_b)y_c=\\=x_ax_c+x_bx_c+y_ay_c+y_by_c=(x_ax_c+y_ay_c)+(x_bx_c+y_by_c)=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$.
 
=====Формулы векторного метода=====
  - $|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^2}$;
  - $\cos{\angle(\vec{a};\vec{b})}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$;
  - $pr_{\vec{a}}(\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}$