$\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$ ======Линейные операции с векторами====== =====Правило треугольника===== Чтобы получить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от какой-либо точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, затем от точки $B$ отложить вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$. Вектор $\overrightarrow{AC}$ называется суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ {{:math-public:132.jpg?direct&300|}} =====Определение====== Суммой двух векторов называется вектор, полученный по правилу треугольника. =====Теорема===== Определение суммы векторов корректно, то есть сумма векторов не зависит от выбора точки $A$. {{:math-public:133.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Докажем, что если отложить вектор $a$ от точки $A_1$, то есть $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{a}$, а затем от точки $B_1$ отложить вектор $\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$, то сумма векторов $\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}$ будет равна вектору $\overrightarrow{AC}$, то есть $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$ (рис. \ref{pic133}). Так как $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B_1}$, то по теореме \ref{133} имеем $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}$. Аналогично из равенства $\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$ следует, что $\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$. Поэтому $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}$. Но из этого равенства по той же теореме \ref{133} следует, что $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$. =====Правило параллелограмма===== Если $ABCD$ -- параллелограмм, то $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ {{:math-public:135.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Так как $ABCD$ -- параллелограмм, то $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. =====Свойства сложения векторов===== Для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ - $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$. - $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. - $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$. {{:math-public:136a.jpg?direct&150|}} {{:math-public:136b.jpg?direct&150|}} {{:math-public:136c.jpg?direct&150|}} {{:math-public:136d.jpg?direct&150|}} ====Доказательство==== Первой свойство очевидно. Докажем второе свойство. Возможны два случая: $1)$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, 2) вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Рассмотрим первый случай. Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Отложим их от точки $A$: $\overrightarrow{AB}=a$ и $\overrightarrow{AD}=b$ -- и построим на этих векторах параллелограмм $ABCD$ (рис. \ref{pic136} a). Поскольку $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, то $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. Рассмотрим второй случай. Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Если вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то можно их последовательно отложить от точки $A$ двумя способами, то есть $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, или $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$ (рис. \ref{pic136} b). Докажем, что $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$. Вектора $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ очевидно сонаправлены, кроме того их модули равны $|\vec{a}|+|\vec{b}|$. Следовательно, эти вектора равны. Рассмотрим случай, когда вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (рис. \ref{pic136} c). Пусть кроме того $|\vec{a}|>|\vec{b}|$. Тогда $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, при этом $|\overrightarrow{AC}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$. C другой стороны $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$, при этом $|\overrightarrow{AC_1}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$. Таким образом модули векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ равны, кроме того они сонаправлены, следовательно, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$. Докажем третий пункт теоремы. Отложим от точки $A$ вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, затем от точки $B$ вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$, а потом от точки $C$ вектор $\overrightarrow{CD}=\vec{c}$ (рис. \ref{pic136} d). Тогда $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. C другой стороны, $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$. Итак $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$. =====Правило цепочки====== При любом расположении точек $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ верно равенство $\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\ldots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}$ =====Определение===== Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается противоположным самому себе (рис. \ref{pic137}). {{:math-public:137.jpg?direct&150|}} =====Теорема===== - $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$. - Если $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$, то $\vec{a}=-\vec{b}$. ====Доказательство===== Докажем первый пункт. Пусть $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$. Тогда $-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$. Следовательно, $\vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$. Докажем второй пункт. Пусть $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$. Тогда, если $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, то поскольку $\vec{0}=\overrightarrow{AA}$, то $\vec{b}=\overrightarrow{BA}$. Таким образом, вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны по модулю и противоположны по направлению, то есть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположны. =====Разность векторов===== Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, что $\vec{c}+\vec{b}=\vec{a}$. Принято обозначать $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$. {{:math-public:134.jpg?direct&150|}} =====Следствие===== $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. =====Теорема===== Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$. {{:math-public:138.jpg?direct&150|}} ====Доказательство==== Пусть $\vec{c}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}$. По правилу треугольника $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}$. Кроме того $\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}$. Поэтому $\vec{a}- \vec{b}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}+(-\overrightarrow{OB})=\vec{a}+(-\vec{b})$.