======Поворот======
=====Определение=====
Поворотом фигуры вокруг точки $O$ на угол $\varphi$ называется такое преобразование, которое каждую точку $X$ переводит в точку $X'$, при этом $OX=OX'$ и угол $XOX'$ отложенный в заданном направлении от луча $OX$ равен $\varphi$. 

=====Теорема=====
Поворот можно представить в виде композиции двух осевых симметрий.
 
 ====Доказательство====
Рассмотрим поворот $R_{O,\varphi}$.

Докажем, что $R_{O,\varphi}=S_{l_2}\circ S_{l_1}$, где прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $O$ под углом $\frac{\varphi}{2}$.

Необходимо доказать, что для любой точки $X$ будет выполнено $X'=X''$, где $X'=R_{O,\varphi}(X)$ и $X''=S_{l_2}(S_{l_1}(X))$.

Если $X=O$, то равенство $X=X''$ очевидно, так как точка $O$ остаётся неподвижной.

Пусть теперь точка $X$ не совпадает с точкой $O$. 

Прямые $l_1$ и $l_2$ образуют два острых и два тупых угла.

Пусть точка $X$ лежит на прямой $l_1$.

Тогда $S_{l_1}(X)=X$.

Пусть $Y=S_{l_1}(X)$.

Тогда $\angle (X;l_1)=\angle (Y;l_2)$, обозначим эти углы $\alpha$.

Кроме того, пусть $\beta=\angle (X;l_2)$.

Если $\alpha <\beta$ и $\alpha < \frac{\varphi}{2}$
 
=====Теорема=====
Поворот является движением. 

=====Поворот в координатах=====
Пусть точка $X(x;y)$ при повороте на угол $\varphi$ вокруг начала координат в положительном направлении переходит в точку $X'(x';y')$. Тогда координаты $X$ и $X'$ связаны соотношениями:

$$\left\{\begin{array}{l}x'=x\cos{\varphi}-y\sin{\varphi}, \\
                   y'=x\sin{\varphi}+y\cos{\varphi};
                 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l}
                   x=x'\cos{\varphi}+y'\sin{\varphi}, \\
                   y=y'\cos{\varphi}-x'\sin{\varphi}.
                 \end{array}\right.$$