\section{Векторы}
\subsection{Определение вектора}
\begin{dfn}\label{def31}
Величина, которая характеризуется своим численным значением,
направлением и складывается по правилу треугольника, называется
векторной величиной.\end{dfn}
\begin{dfn}\label{def32}
Направленный отрезок -- это отрезок один конец которого считается
началом, а другой концом.\end{dfn}
\begin{dfn}\label{def33.1}
Направленные отрезки называются сонаправленными, если выполняется
одно из двух следующих условий:
\begin{enumerate}
  \item отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими
  отрезками в пересечении дают луч (рис. \ref{pic124} a);
  \item отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в
  одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей начала
  направленных отрезков (рис. \ref{pic124} b).
\end{enumerate}
\end{dfn}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{124-1}\\
a)
\end{center}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{124-2}\\
b)
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Определение
\ref{def33.1}.}}\label{pic124}
\end{center}
\end{figure}

\begin{dfn}\label{def33.2}
Направленные отрезки называются сонаправленными, если они лежат на
параллельных прямых или на одной прямой, и при этом лучи, задаваемые
этими направленными отрезками лежат по одну сторону от некоторой
непараллельной им прямой, то есть в одной полуплоскости,
ограниченной этой прямой (рис. \ref{pic125}).
\end{dfn}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{125}\\
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Определение
\ref{def33.2}.}}\label{pic125}
\end{center}
\end{figure}

\begin{dfn}\label{def33.3}
Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ сонаправлены,
если найдётся такая прямая $a$, что, во-первых, они перпендикулярны
этой прямой и, во-вторых, лучи $AB$ и $CD$ лежат по одну сторону от
этой прямой (рис. \ref{pic126}).
\end{dfn}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{126}\\
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Определение
\ref{def33.3}.}}\label{pic126}
\end{center}
\end{figure}

\begin{utv}\label{utv33}
Определения \ref{def33.1}, \ref{def33.2} и \ref{def33.3}
эквивалентны.
\end{utv}
\begin{dfn}\label{def34}
Направленные отрезки называются противоположно направленными, если
выполняется одно из двух следующих условий:
\begin{enumerate}
  \item отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими
  отрезками в пересечении дают отрезок, точку или пустое множество;
  \item отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в
  разных полуплоскостях относительно прямой, соединяющей начала
  направленных отрезков.
\end{enumerate}
\end{dfn}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{127-1}\\
a)
\end{center}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{127-2}\\
b)
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Определение
\ref{def34}.}}\label{pic127}
\end{center}
\end{figure}

\begin{dfn}\label{def34.2}
Направленные отрезки называются противоположно направленными, если
они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), но не
сонаправлены.
\end{dfn}
\begin{zam}
Определения \ref{def34} и \ref{def34.2} эквивалентны.
\end{zam}
\begin{dfn}\label{def35}
Направленные отрезки называются равными, если они равны по длине и
сонаправлены.\end{dfn}
\begin{dfn}\label{def36}
Вектор -- это класс эквивалентности направленных отрезков, по
отношению эквивалентности <<равенство>> (или проще: класс равных
направленных отрезков).\end{dfn}
\begin{dfn}\label{def37}
Для любой точки $A$, вектор $\overrightarrow{AA}$ называется
ноль-вектором и обозначается $\vec{0}$.\end{dfn}
\begin{dfn}\label{def38}
Вектора называются коллинеарными, если их направленные отрезки
сонаправлены или противоположно направлены.\end{dfn}
\begin{thm}\label{130}
Два вектора сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.
\end{thm}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{128}\\
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{130}.}}\label{pic128}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}\ \par
 Пусть векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$
сонаправлены с вектором $\overrightarrow{MN}$ (рис. \ref{pic128}).
Докажем, что $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}$.
Так как $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{MN}$, то по
определению \ref{def33.3} найдется такая перпендикулярная им прямая
$a$, от которой лучи $AB$ и $MN$ лежат по одну сторону. Точно так же
для векторов $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{MN}$ найдётся
перпендикулярная им прямая $b$, от которой лучи $CD$ и $MN$ лежат по
одну сторону. Если прямые $a$ и $b$ не совпадают, то они параллельны
(как перпендикулярные одной и той же прямой $MN$). Тогда из двух
полуплоскостей, которые ограничены прямыми $a$ и $b$ и содержат луч
$MN$, одна содержит другую. Будем считать, что это полуплоскость
ограниченная прямой $a$. Эта полуплоскость содержит лучи $AB$, $CD$
и $MN$. Тем самым выполнено второе условие определения
\ref{def33.3}. Кроме того выполнено и первое условие, так как
векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$
перпендикулярны прямой $a$. Поэтому $\overrightarrow{AB}\upuparrows
\overrightarrow{CD}$.
\end{proof}
\begin{dfn} \label{def39}
Векторы называются равными, если их длины
равны и они сонаправлены.\end{dfn}
\begin{thm}\label{131}
\begin{enumerate}
  \item Каждый вектор равен самому себе.
  \item Если вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{b}$, то вектор
  $\vec{b}$ равен вектору $\vec{a}$.
  \item Два вектора равные третьему вектору, равны.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}\ \par
Первые два свойства очевидно вытекают из определения равенства
векторов.\par Докажем третье свойство. Пусть $\vec{a}=\vec{b}$ и
$\vec{c}=\vec{b}$. Тогда $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ и $\vec{a}\upuparrows
\vec{b}$, а также $|\vec{c}|=|\vec{b}|$ и $\vec{c}\upuparrows
\vec{b}$. Из равенства модулей следует, что $|\vec{a}|=|\vec{c}|$. А
из теоремы \ref{130} вытекает, что $\vec{a}\upuparrows \vec{c}$.
Поэтому $\vec{a}=\vec{c}$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{132}
Если четырехугольник $ABCD$ -- параллелограмм, то
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.\end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{129}\\
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{132}.}}\label{pic129}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}\
\par
Из того, что $ABCD$ параллелограмм следует, что $AB=CD$ и
$AB\parallel CD$ (рис. \ref{pic129}). Кроме того лучи $AB$ и $DC$
лежат по одну сторону от прямой $AD$, следовательно вектора
$\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены и равны
по модулю. Таким образом $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{133}
Если $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, то
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.\end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{130}\\
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{133}.}}\label{pic130}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par
Из равенства векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$
следует, что $AB=CD$ и $AB\parallel CD$, таким образом $ABDC$ --
параллелограмм (рис. \ref{pic130}). Следовательно, по теореме
\ref{132} $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{134}
От любой точки $M$ можно отложить вектор, равный данному вектору
$\vec{a}$, и при том только один.\end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{131}\\
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{134}.}}\label{pic131}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}\ \par
Рассмотрим вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ (рис. \ref{pic131}).
Проведем через точку $M$ прямую $p$, параллельную $AB$ (если $M$ --
точка прямой $AB$, то в качестве прямой $p$ возьмём саму прямую
$AB$). На прямой $p$ отложим отрезки $MN$ и $MN'$, равные отрезку
$AB$, и выберем из векторов $MN$ и $MN'$ тот, который сонаправлен с
вектором $a$. Этот вектор и является искомым вектором, равным
вектору $a$. Единственность следует из аксиомы \ref{aks2} (об
откладывании отрезка) и аксиомы \ref{aks5} (о параллельных прямых).
\end{proof}