\subsection{Линейные операции с векторами}
=====Правило треугольника=====
Чтобы получить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от
какой-либо точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$,
затем от точки $B$ отложить вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$
(рис. \ref{pic132}). Вектор $\overrightarrow{AC}$ называется суммой
векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
\end{dfn}


\includegraphics[width=100pt]{132}\\

=====Теорема=====
Определение \ref{def40} корректно, то есть сумма векторов не зависит
от выбора точки $A$.
\end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{133}\\

Докажем, что если отложить вектор $a$ от точки
$A_1$, то есть $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{a}$, а затем от точки
$B_1$ отложить вектор $\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$, то сумма
векторов
$\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}$
будет равна вектору $\overrightarrow{AC}$, то есть
$\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$ (рис.
\ref{pic133}).\par Так как
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B_1}$, то по теореме
\ref{133} имеем $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}$.
Аналогично из равенства
$\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$ следует, что
$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$. Поэтому
$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}$. Но из этого равенства
по той же теореме \ref{133} следует, что
$\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$.
\end{proof}
\begin{dfn}\label{def41}
Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор
$\vec{c}$, что $\vec{c}+\vec{b}=\vec{a}$. Принято обозначать
$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$ (рис. \ref{pic134}).\end{dfn}

\includegraphics[width=100pt]{134}\\

\begin{sle}\label{sle.def41}
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (рис.
\ref{pic134}).
\end{sle}

\begin{thm}[Правило параллелограмма]\label{135}
Если $ABCD$ -- параллелограмм, то
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
\end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{135}\\

====Доказательство====
Так как $ABCD$ -- параллелограмм, то
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно,
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
\end{proof}

=====Теорема (свойства сложения векторов)=====
Для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и
$\vec{c}$

  - $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$.
  - $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.
  - $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.


\includegraphics[width=100pt]{136a}\\
\includegraphics[width=100pt]{136b}\\
\includegraphics[width=100pt]{136c}\\
\includegraphics[width=100pt]{136d}\\

\begin{proof}\ \par
Первой свойство очевидно. Докажем второе свойство. Возможны два
случая: $1)$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, 2) вектора
$\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Рассмотрим первый случай. Пусть
вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Отложим их от точки
$A$: $\overrightarrow{AB}=a$ и $\overrightarrow{AD}=b$ -- и построим
на этих векторах параллелограмм $ABCD$ (рис. \ref{pic136} a).
Поскольку
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC},
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, то
$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. \par Рассмотрим второй случай.
Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Если вектора
$\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то можно их последовательно
отложить от точки $A$ двумя способами, то есть
$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$,
или
$\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$
(рис. \ref{pic136} b). Докажем, что
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$. Вектора
$\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ очевидно
сонаправлены, кроме того их модули равны $|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
Следовательно, эти вектора равны.\par Рассмотрим случай, когда
вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (рис.
\ref{pic136} c). Пусть кроме того $|\vec{a}|>|\vec{b}|$. Тогда
$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$,
при этом $|\overrightarrow{AC}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$. C другой
стороны
$\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$,
при этом $|\overrightarrow{AC_1}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$. Таким
образом модули векторов $\overrightarrow{AC}$ и
$\overrightarrow{AC_1}$ равны, кроме того они сонаправлены,
следовательно, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$.\par
Докажем третий пункт теоремы. Отложим от точки $A$ вектор
$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, затем от точки $B$ вектор
$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$, а потом от точки $C$ вектор
$\overrightarrow{CD}=\vec{c}$ (рис. \ref{pic136} d). Тогда
$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.
C другой стороны,
$\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.
Итак $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.
\end{proof}
\begin{dfn}\label{def42}
Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины
равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается
противоположным самому себе (рис. \ref{pic137}).

\includegraphics[width=100pt]{137}\\

=====Теорема=====
  - $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$.
  - Если $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$, то $\vec{a}=-\vec{b}$.
====Доказательство====
 Докажем первый пункт. Пусть $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$. Тогда
$-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$. Следовательно,
$\vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.\par
Докажем второй пункт. Пусть $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$. Тогда, если
$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, то поскольку
$\vec{0}=\overrightarrow{AA}$, то $\vec{b}=\overrightarrow{BA}$.
Таким образом, вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны по модулю и
противоположны по направлению, то есть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$
противоположны.
\end{proof}
\begin{thm}\label{137}
Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство
$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$.
\end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{138}

\begin{proof}\ \par
Пусть
$\vec{c}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}$.
По правилу треугольника
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}$. Кроме
того $\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}$. Поэтому
$\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}+(-\overrightarrow{OB})=\vec{a}+(-\vec{b})$.
\end{proof}
\begin{dfn}[о произведении вектора на число]\label{def43}
Произведением вектора $\vec{a}\neq\vec{0}$ на число $x\neq0$
называется такой вектор $x\vec{a}$, для которого выполняются два
условия:\begin{enumerate}
          \item $|x\cdot\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{a}|$
          \item он сонаправлен с вектором $\vec{a}$, если $x>0$, и
          противоположно направлен вектору $\vec{a}$, если $x<0$
        \end{enumerate}
Если же $\vec{a}=\vec{0}$ или $x=0$, то вектор $x\vec{a}=\vec{0}$
(рис. \ref{pic138})

\includegraphics[width=100pt]{139a}\\
\includegraphics[width=100pt]{139b}\\

\begin{sle*}\label{sle.def43}\

  - $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
  - $(-1)\vec{a}=-\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
  - Если $x\vec{a}=x\vec{b}$ и $x\neq0$, то $\vec{a}=\vec{b}$.
  - Если $x\vec{a}=y\vec{a}$ и $\vec{a}\neq\vec{0}$, то $x=y$.


\begin{proof}\ \par
\begin{itemize}
  \item По определению вектор $1\cdot \vec{a}$ по модулю равен
  $1\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он сонаправлен с
  $\vec{a}$, так как $1>0$.
  \item По определению вектор $1\cdot \vec{a}$ по модулю равен
  $|-1|\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он противоположнонаправлен с
  $\vec{a}$, так как $-1<0$, следовательно, это вектор $-\vec{a}$.
  \item Если $x\vec{a}=x\vec{b}$, то
  $|x|\cdot|\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{b}|$, и так как $x\neq0$, то
  $|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Кроме того, если $x>0$, то вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$
  сонаправлены с $\vec{a}$, а если $x<0$, то они сонаправлены с
  $-\vec{a}$. Таким образом $\vec{a}=\vec{b}$.
  \item Если $x\vec{a}=y\vec{a}$, то
  $|x|\cdot|\vec{a}|=|y|\cdot|\vec{a}|$, а так как
  $\vec{a}\neq\vec{0}$, то на $|\vec{a}|$ можно сократить,
  следовательно, $|x|=|y|$. А так как вектора $x\vec{a}$ $y\vec{a}$,
  то числа $x$ и $y$ одного знака. Следовательно, $x=y$.
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{thm}[Характеристическое свойство коллинеарных векторов]\label{139}
Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и
только тогда, когда $\vec{b}=x\vec{a}$.
\end{thm}
\begin{proof}\ \par
Если $\vec{b}=x\vec{a}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$
коллинеарны по определению умножения вектора на число.\par Теперь
докажем, что если $\vec{b}\parallel \vec{a}$, то найдется такое
число $x$, что $\vec{b}=x\vec{a}$. Если $\vec{b}=\vec{0}$, то $x=0$.
Если же $\vec{b}\neq\vec{0}$, то возможны два случая:
\begin{enumerate}
    \item $\vec{b}\upuparrows \vec{a}$, тогда
    $x=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Действительно, вектор
    $x\vec{a}$ будет сонаправлен с $\vec{b}$, так как $x>0$, кроме
    того
    $|x\vec{a}|=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}|=|\vec{b}|$.
    Следовательно, $\vec{b}=x\vec{a}$.
    \item $\vec{b}\updownarrows \vec{a}$, тогда аналогично первому
    случаю
    $x=-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{sle}\label{sle139.1}
Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной
прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого
умножением на число.
\end{sle}
\begin{proof}\ \par
Рассмотрим вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$.
Если точка $X$ лежит на прямой $AB$, то вектора
$\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны по
определению, и, следовательно
$\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$.\par Обратно, если
$\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$, то вектора
$\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны, а так как
у них есть общая точка $A$, то они лежат на одной прямой.
\end{proof}
\begin{thm}\label{142}
Для любых чисел $k, l$ и любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$
справедливы равенства:
\begin{enumerate}
  \item $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$;
  \item $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$;
  \item $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}\ \par
\begin{enumerate}
  \item Докажем, что для любых чисел $k$, $l$ и любого вектора $\vec{a}$
  справедливо равенство $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$. Если $\vec{a}=\vec{0}$, то
  справедливость этого равенство очевидна. Пусть $a\neq0$. Имеем:
  $|(lk)\vec{a}|=|kl||\vec{a}|=|k||l||\vec{a}|=|k||l\vec{a}|=|k(l\vec{a})|$.\par
  Далее, если $kl\geqslant0$, то $(kl)\vec{a}\upuparrows \vec{a}$ и $k(l\vec{a})\upuparrows
  \vec{a}$; если же $kl<0$, то $(kl)\vec{a}\updownarrows \vec{a}$ и $k(l\vec{a})\updownarrows
  \vec{a}$. И в том и в другом случае $(kl)\vec{a}\upuparrows k(l\vec{a})$.
  Следовательно, $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$.
  \item Докажем, что для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$
  справедливо равенство $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$. Если $k=0$, или $\vec{a}=\vec{0}$, или
  $\vec{b}=\vec{0}$, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть $k\neq0, \vec{a}\neq\vec{0},
  \vec{b}\neq\vec{0}.$\par Возможны три случая.
\begin{enumerate}
    \item $\vec{a}\upuparrows \vec{b}$. Тогда вектора $k(\vec{a}+\vec{b}), k\vec{a}$, $k\vec{b}$, а
    следовательно, и $k\vec{a}+k\vec{b}$,
    сонаправлены. Кроме того
    $|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|+|\vec{b}|)=|k\vec{a}|+|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$. Следовательно,
    $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.
    \item $\vec{a}\updownarrows \vec{b}$. Пусть для определённости
    $|\vec{a}|\geqslant|\vec{b}|$. Тогда и $|k\vec{a}|\geqslant|k\vec{b}|$. Тогда
    $k(\vec{a}+\vec{b})\upuparrows(k\vec{a}+k\vec{b})$. Кроме того в этом случае
    $|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|-|\vec{b}|)=|k\vec{a}|-|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$. Следовательно,
    $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.
    \item $\vec{a}\not\parallel \vec{b}$. Тогда отложим  от какой-нибудь точки
    $O$ векторы $\overrightarrow{OA_1}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{OA}=k\vec{a}$, а от точек $A_1$ и $A$ векторы
    $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{b}$ и $\overrightarrow{AB}=k\vec{b}$. Треугольники $OA_1B_1$ и $OAB$ подобны с
    коэффициентом подобия $|k|$ по второму признаку подобия
    треугольников. Следовательно, $\overrightarrow{OB}=k\cdot \overrightarrow{OB_1}=k(\vec{a}+\vec{b})$. C другой
    стороны, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=k\vec{a}+k\vec{b}$. Итак, $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.
\end{enumerate}
  \item Докажем, что для любых чисел $k, l$ и любого вектора $\vec{a}$
  справедливо равенство $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$. Если $k=l=0$, то
  справедливость этого равенство очевидна. Пусть хотя бы одно из
  чисел $k, l$ отлично от нуля. Для определённости будем считать,
  что $|k|\geqslant|l|$, и, следовательно, $k\neq0$ и
  $\left|\frac{l}{k}\right|\leqslant1$.\par
  Рассмотрим вектор $\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a}$. Очевидно, $(\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a})\upuparrows
  \vec{a}$. Далее, $|\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a}|=|\vec{a}|+\frac{l}{k}|\vec{a}|=(1+\frac{l}{k})\vec{a}$.
  Умножая обе части этого равенства на $k$, получим, что справедливо
  равенство $k\vec{a}+l\vec{a}=(k+l)\vec{a}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{thm}[теорема <<$\alpha-\beta$>>]\label{140}
Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, и $AC:CB=\alpha:\beta$, то
$\overrightarrow{OC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OB}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OA}$.
\end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{140}\\

\begin{proof}\ \par
Выберем произвольную точку $O$ и обозначим
$\vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB},
\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ (рис. \ref{pic140}). Тогда
$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$,
$\overrightarrow{AC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}(\vec{b}-\vec{a})$.
Тогда
$\vec{c}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\frac{\alpha}{\alpha+\beta}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{\alpha
\vec{a}+\beta \vec{a}+\alpha \vec{b}-\alpha
\vec{a}}{\alpha+\beta}=\frac{\beta \vec{a}+\alpha
\vec{b}}{\alpha+\beta}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}
\vec{a}+\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \vec{b}$, то есть
$\overrightarrow{OC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OB}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OA}$.
\end{proof}