Аксиоматика Гильберта

Теорема 3. Для любых двух точек $A$ и $C$ на прямой $AC$ существует по крайней мере одна точка $D$, лежащая между $A$ и $C$.

Теорема 4 Среди трех точек $A,B,C$ на одной и той же прямой всегда существует одна, лежащая между двумя другими.

Теорема (дополнение к аксиоме Паша) Пусть $A, B, C$ – три точки, не лежащие на одной прямой, и $a$ - прямая в плоскости $ABC$, не проходящая ни через одну из точек $A, B, C$. Если при этом прямая $a$ проходит через одну из точек отрезка $AB$, то она не может при этом пересечь оба отрезка $AC$ и $BC$.

Теорема 5 Любые четыре точки на прямой можно обозначить буквами $A, B, C, D$ так, чтобы точка, обозначенная буквой $B$, лежала как между точками $A$ и $C$, так и между $A$ и $D$? а точка, обозначенная буквой $C$? лежала как между точками $A$ и $D$, так и между точками $B$ и $D$.

Теорема 6 Как бы ни было расположено конечное число точек на прямой, их можно обозначить буквами $A, B, C, D, ... , K$ так, чтобы точка обозначенная буквой $B$, лежала между точкой $A$ с одной стороны и точками $C, D, E, ... , K$ – с другой. Далее $C$ – между $A$ и $B$ с одной стороны и $D, E, ... , K$ с другой стороны, и т.д. Кроме этого обозначения существует ещё только обратный способ обозначения $K, ... , E, D, C, B, A$, обладающий тем же свойством.

Теорема 7 Между любыми двумя точками прямой существует бесчисленное множество точек

Теорема 8 Каждая прямая $a$, лежащая в плоскости $\alpha$, разбивает точки плоскости $\alpha$, не лежащие на этой прямой, на две области, обладающие следующим свойством: каждая точка $A$ одной из областей вместе с каждой точкой $B$ другой области определяют отрезок $AB$, внутри которого лежит одна точка прямой $a$, а любые две точки $A$ и $A'$ одной и той же области определяют отрезок, не содержащий ни одной из точек прямой $a$.

Теорема 9 Всякий простой многоугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, разбивает точки плоскости $\alpha$, не принадлежащие многоугольнику, на две области – внутреннюю и внешнюю, – обладающие следующими свойствами: если $A$ есть точка внутренней области, а $B$ – точка внешней области, то всякая ломаная, лежащая в плоскости $\alpha$ и соединяющая точки $A$ и $B$, имеет по крайней мере одну общую точку с многоугольником; если же $A$ и $A'$ – суть де внутренние точки многоугольника, а $B$ и $B'$ - его внешние точки, то, наоборот, всегда существуют в плоскости $\alpha$ ломаные, соединяющие точку $A$ с точкой $A'$ и точку $B$ с точкой $B'$ и не имеющие никаких общих точек с многоугольником. При надлежащем выборе названия для обеих областей, в плоскости будут существовать прямые, целиком проходящие во внешней области многоугольника, и. наоборот, не будет существовать ни одной прямой, целиком лежащей в его внутренней области.