1. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла, заключенного между ними.
2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла, заключенного между ними.
3. Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Пусть в треугольнике $ABC$ известны стороны $b, c$ и угол $A$ между ними.

Докажем, что $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}$.

Действительно, проведем высоту $h=CD$ из вершины $C$.

Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$.

Поэтому $h=b\sin{A}$.

Тогда $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}ch=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}$.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ известны стороны $a, b$ и угол $A$ между ними.

Докажем, что $S_{ABCD}=ab\sin{A}$.

Действительно, проведем высоту $h=BH$ из вершины $B$.

Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$.

Поэтому $h=b\sin{A}$.

Тогда $S_{ABCD}=ah=ab\sin{A}$.

Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.

Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$.

Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$.

Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним.

Следовательно, синусы углов $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$ и $\angle AOD$ равны.

Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$.

Тогда $S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(ad+db+bc+ca)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(d(a+b)+c(b+a))=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(a+b)(c+d)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot AC\cdot BD$.

В любом выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполняется соотношение $S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$.

Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.

Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$.

Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$.

Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним.

Следовательно, синусы углов $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$ и $\angle AOD$ равны.

Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$.

Тогда $S_{ABO}\cdot S_{COD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot ad\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot bc=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot db\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot ac=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$.

В произвольной трапеции площади треугольников, на которые трапецию делят диагонали, удовлетворяют соотношению $S^2=S_1\cdot S_2$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ в которой диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По теореме $S_{AOB}=S_{COD}=S$.

Обозначим $S_1=S_{BOC}$, $S_2=S_{AOD}$.

Тогда, учитывая теорему, получим $S^2=S_1\cdot S_2$.