Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и только тогда, когда $\vec{b}=x\vec{a}$.

Если $\vec{b}=x\vec{a}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теперь докажем, что если $\vec{b} \parallel \vec{a}$, то найдется такое число $x$, что $\vec{b}=x\vec{a}$.

Если $\vec{b}=\vec{0}$, то $x=0$.

Если же $\vec{b}\neq\vec{0}$, то возможны два случая:

Пусть $\vec{b}\upuparrows \vec{a}$, тогда $x=\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.

Действительно, вектор $x\vec{a}$ будет сонаправлен с $\vec{b}$, так как $x>0$, кроме того $|x\vec{a}|=\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}|=|\vec{b}|$.

Следовательно, $\vec{b}=x\vec{a}$.

Пусть $\vec{b}\updownarrows \vec{a}$.

Тогда аналогично первому случаю $x=-\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.

Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число.

Рассмотрим вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$.

Если точка $X$ лежит на прямой $AB$, то вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны по определению, и, следовательно $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$.

Обратно, если $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$, то вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны, а так как у них есть общая точка $A$, то они лежат на одной прямой.