Инцентр делит биссектрису $l_c$ треугольника в отношении $\dfrac{a+b}{c}$, где $a,b$ и $c$ – стороны треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a, b$ и $c$, в котором проведены биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$.

Докажем, что точка пересечения биссектрис $I$ делит биссектрису $CC_1$ в отношении $\frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}$.

По теореме о биссектрисе $\displaystyle \frac{AB_1}{B_1C}=\frac{c}{a}, \frac{AC_1}{C_1B}=\frac{b}{a}$.

Тогда по теореме Менелая для треугольника $ACC_1$ и секущей $B_1B$ получаем

$\displaystyle\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CI}{IC_1}\cdot\frac{C_1B}{BA}=\frac{c}{a}\cdot\frac{CI}{IC_1}\cdot\frac{a}{a+b}=1$,

откуда $\displaystyle \frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}$.

Если $M$ – точка касания со стороной $AC$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, то $AM=p-BC$, где $p$ – полупериметр треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в который вписана окружность.

Пусть окружность касается сторон $AС, AB$ и $BC$ в точках $M, N$ и $P$ соответственно.

Докажем, что $AM=p-BC$.

Так как касательные к окружности, проведённые из одной точки равны, то можно обозначить $x=AM=AN, y=BN=BP, z=CM=CP$.

Тогда $AM=x=\dfrac{2x+2y+2z}{2}-(y+z)=p-(y+z)=p-BC$.