Эллипс

Эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек $F_1$ и $F_2$ постоянна и при этом больше, чем $|F_1F_2|$.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, число $a$ называется большой полуосью эллипса, $b$ – малой полуосью, $a>b$.

Пусть $M(x,y)$ – это произвольная точка, принадлежащая данному эллипсу, а точки $F_1(c;0)$ и $F_2(-c;0)$ – это его фокусы.

Тогда по определению эллипса сумма $MF_1+MF_2$ постоянна.

Пусть эта сумма равна $2a$, то есть $MF_1+MF_2=2a$.

Распишем это равенство с помощью формулы расстояния между двумя точками:

$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$

Возведём это равенство в квадрат, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$2x^2+2c^2+2y^2+2\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2$$

или

$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a^2-(x^2+y^2+c^2).$$

При условии, что $2a^2-(x^2+y^2+c^2)\geqslant0$, данное уравнение можно возвести в квадрат:

$$((x-c)^2+y^2)((x+c)^2+y^2)=4a^4-4a^2(x^2+y^2+c^2)+(x^2+y^2+c^2)^2$$

или

$$(x^2+c^2+y^2-2xc)(x^2+c^2+y^2+2xc)=4a^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+(x^2+y^2+c^2)^2.$$

В левой части раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

$$(x^2+y^2+c^2)^2-4x^2c^2=4a^4-2a^2x^2-2a^2y^2-2a^2c^2+(x^2+y^2+c^2)^2.$$

Сократив подобные слагаемые, перенеся все слагаемые в одну часть, и сократив на $4$, получим:

$$a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^2c^2+x^2c^2=0.$$

Перегруппируем слагаемые:

$$(a^4-a^2c^2)+(x^2c^2-x^2a^2)-a^2y^2=0,$$

$$x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$$

Так как $a>c$, то можно разделить последнее равенство на $a^2(a^2-c^2)$:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1.$$

Обозначив $b^2=a^2-c^2$, получим

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Теперь докажем, что любая пара чисел $(x,y)$, удовлетворяющая последнему равенству, удовлетворяет условию $2a^2-(x^2+y^2+c^2)\geqslant0$.

Преобразуем левую часть:

$$2a^2-(x^2+y^2+c^2)=a^2+(a^2-c^2)-x^2-y^2=a^2+b^2-x^2-y^2.$$

Из равенства \ref{eq010} следует, что $x^2=a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)\leqslant a^2$, так как $1-\frac{y^2}{b^2}\leqslant 1$.

Аналогично $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\leqslant b^2$.

Следовательно, $x^2\leqslant a^2, y^2\leqslant b^2$, а значит, $x^2+y^2\leqslant a^2+b^2$или $a^2+b^2-x^2-y^2\geqslant 0.$

Следовательно, $2a^2-(x^2+y^2+c^2)=(a^2-x^2)+(a^2-c^2-y^2)=(a^2-x^2)+(b^2-y^2)\geqslant0.$

1. Вершины эллипса имеют координаты $A_{1,2}(\pm a;0)$ и $B_{1,2}(0;\pm b)$.
2. Фокусы канонической эллипса имеют координаты $F_1(c;0)$ и $F_2(-c;0)$, при этом $b^2=a^2-c^2$ и $a>c$.
3. Эксцентриситетом эллипса называется число $e=\frac{c}{a}$.

Пусть точка $M(x_0;y_0)$ – произвольная точка эллипса $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$. Тогда уравнение касательной к эллипсу, проведенной в этой точке имеет вид $\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$.

По определению касательной к кривой в данной токе $M$ называется предельное положение секущей $M_0M_1$ при условии, что точка $M_1$ стремится к точке $M_0$ по данной кривой.

Рассмотрим уравнение секущей к эллипсу, проходящей через точку $M_0(x_0;y_0)$ и не совпадающую с ней точку $M_1(x_1;y_1)$.

Поскольку точка $M_1$ стремиться к точке $M_0$, можно считать, что знаки их соответствующих координат совпадают (если одна из координат точки $M_0$ равна 0, то соответствующую координату точки $M_1$ будем брать с каким-либо определённым знаком).

Рассмотрим случай, когда абсциссы точек $M_0$ и $M_1$ неотрицательны.

Так как обе точки лежат на эллипсе $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, то их координаты можно записать в виде $M_0(\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2};y_0), M_1(\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_1^2};y_1)$.

Запишем уравнение прямой $M_0M_1$:

$$\frac{x-x_0}{x_0-x_1}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1},$$

$$\frac{x-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}}{\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_1^2}}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1},$$

$$\frac{(\frac{b}{a}x-\sqrt{b^2-y_0^2})(\sqrt{b^2-y_0^2}+\sqrt{b^2-y_1^2})}{y_1^2-y_0^2}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1},$$

$$(\frac{b}{a}x-\sqrt{b^2-y_0^2})(\sqrt{b^2-y_0^2}+\sqrt{b^2-y_1^2})=(y_0-y)(y_0+y_1).$$

Если точка $M_1$ стремиться к точке $M_0$ по эллипсу, то $y_1$ стремиться к $y_0$.

Тогда последнее равенство можно записать в виде

$$(\frac{b}{a}x-\sqrt{b^2-y_0^2})\cdot2\sqrt{b^2-y_0^2}=(y_0-y)\cdot2y_0,$$

$$\frac{b}{a}x\sqrt{b^2-y_0^2}-b^2+y_0^2=y_0^2-yy_0,$$

$$\frac{b}{a}x\sqrt{b^2-y_0^2}+yy_0=b^2.$$

Разделим это равенство на $b^2$:

$$\frac{1}{ab}x\sqrt{b^2-y_0^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1.$$

Учитывая, что $x_0=\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}$, получаем:

$$\frac{x}{a^2}\cdot\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1,$$

$$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1.$$

Случай, когда абсциссы точек $M_0$ и $M_1$ отрицательны рассматривается аналогично, с той лишь разницей, что теперь координаты этих точек будут иметь вид $M_0(-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2};y_0), M_1(-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_1^2};y_1)$.

Любой луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, отразившись от какой-либо точки эллипса, проходит через другой его фокус.

Пусть к данному эллипсу в точке $P$ проведена касательная.

Пусть $X$ – это произвольная точка этой касательной, отличная от точки $P$. Очевидно, что точка $X$ лежит вне эллипса, следовательно, $F_1X+XF_2>F_1P+PF_2$.

Таким образом минимум суммы $F_1X+XF_2$ достигается, если точка $X$ совпадает с точкой $P$.

Тогда по теореме \ref{174.1} лучи $PF_1$ и $PF_2$ образуют одинаковые углы с касательной, что соответствует правилу отражения лучей света.