Определение вектора

• Два объекта некоторого множества могут находиться друг с другом в некотором отношении. Примеры отношений: один треугольник подобен другому, одно число делится на другое, одна прямая параллельна другой.
• Обозначим некоторое отношение символом «~».
• Отношение «~» обладает свойством рефлексивности, если для любого элемента $a$ рассматриваемого множества будет выполнено $a$~$a$.
• Отношение «~» обладает свойством симметричности, если для каждой пары элементов $a$ и $b$ рассматриваемого множества из того, что $a$~$b$ будет следовать $b$~$a$.
• Отношение «~» обладает свойством транзитивности, если для любых трёх элементов $a, b, c$ рассматриваемого множества из того, что $a$~$b$ и $b$~$c$, будет следовать, что $a$~$c$.
• Отношение, одновременно обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, называется отношением эквивалентности.
• Классом эквивалентности элемента $a$ называется множество всех элементов, эквивалентных $a$.

Равенство направленных отрезков является отношением эквивалентности.

Величина, которая характеризуется своим численным значением, направлением и складывается по правилу треугольника, называется векторной величиной.

Вектор – это класс эквивалентности направленных отрезков, по отношению эквивалентности «равенство» (или проще: класс равных направленных отрезков).

Для любой точки $A$, вектор $\overrightarrow{AA}$ называется ноль-вектором и обозначается $\vec{0}$.

С нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве. Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору. Можно считать, что нулевой вектор одновременно параллелен и перпендикулярен любому вектору пространства.

Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки сонаправлены или противоположно направлены.

Вектора называются сонаправленными (противоположно направленными), если их направленные отрезки сонаправлены (противоположно направлены).

Модулем вектора $\overrightarrow{AB}$ называется число, равное длине отрезка $AB$. Иначе: модулем вектора называется длина направленного отрезка, изображающего этот вектор.