1. Косинус острого угла равен отношению проекции к наклонной.
2. Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним угла, взятого с другим знаком.
3. Косинус прямого угла равен нулю.
4. Косинус развернутого угла равен минус единице.

Значение косинуса угла не зависит от того, какую длину наклонной выбрать.

Следует из корректности определения синуса и теоремы Пифагора.

Следует из подобия треугольников.

1. Косинус любого угла не больше $1$ и не меньше $-1$.
2. $\cos{(180^\circ-\alpha)}=-\cos{\alpha}$.
3. При возрастании угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ косинус убывает от 1 до -1.
4. Косинус однозначно определяет угол.

Первое свойство следует из того, что проекция меньше наклонной.

Второе свойство следует из того, что углы $180^\circ-\alpha$ и $\alpha$ являются смежными.

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке $A$ и диаметром $DE$.

Пусть на прямой $DE$ задана числовая ось с началом в точке $A$ и единичным отрезком $AE$.

Проведем радиус $AB$ и получим угол $\a BAE$ некоторой величины $\alpha$.

Пусть точка $C$ является проекцией точки $B$ на прямую $DE$.

Тогда $\cos{\alpha}=AC$ при $\alpha\leqslant 90^\circ$ и $\cos{\alpha}=-AC$ при $\alpha>90^\circ$.

Это означает, что $\cos{\alpha}$ равен координате точки $C$ на оси $AE$.

Когда $\alpha$ возрастает $0^\circ$ до $180^\circ$ (то есть, когда точка $B$ пробегает полуокружность от точки $E$ до точки $D$), точка $C$ пробегает диаметр $ED$ от точки $E$ до точки $D$.

При этом координата точки $C$, то есть $\cos{\alpha}$, убывает от $1$ до $-1$.

Пусть $\cos{\alpha}=\cos{\beta}$.

Докажем, что тогда $\alpha=\beta$.

Действительно, возможно три случая:

1. $\alpha>\beta$. Тогда по пункту 3 $\cos{\alpha}<\cos{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
2. $\alpha<\beta$. Тогда по пункту 3 $\cos{\alpha}>\cos{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
3. Следовательно, остаётся только третья возможность: $\alpha=\beta$.