Площадь параллелограмма Вариньона в два раза меньше площади исходного четырехугольника.

Пусть $MNPQ$ – параллелограмм Вариньона для выпуклого четырехугольника $ABCD$, и пусть $S_{ABCD}=S$.

Докажем, что $S_{MNPQ}=\dfrac{S}{2}$.

Треугольники $ABC$ и $BMQ$ подобны с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$.

Следовательно, $S_{BMQ}=\dfrac{1}{4}S_{BAC}$. Аналогично $S_{DNP}=\dfrac{1}{4}S_{ACD}$.

Тогда $S_{BMQ}+S_{DNP}=\dfrac{1}{4}(S_{ABC}+S_{ACD})=\dfrac{1}{4}S$.

Аналогично $S_{CNM}+S_{QAP}=\dfrac{1}{4}S$.

Тогда $S_{MNPQ}=S-S_{BMQ}-S_{DNP}-S_{CNM}-S_{QAP}=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{4}S=\dfrac{1}{2}S$.

Рассмотрим случай, когда $ABCD$ – невыпуклый четырехугольник.

Аналогично первому случаю $S_{BMQ}+S_{DNP}=\dfrac{1}{4}(S_{ABC}+S_{ACD})=\dfrac{1}{4}S$.

Обозначим $S_1=S_{BAD}$.

Тогда $S_{CMN}=\frac{1}{4}S_{BCD}=\frac{1}{4}(S+S_1)$ и $S_{QAP}=\frac{1}{4}S_1$.

Тогда $$S_{MNPQ}=S-S_{BMQ}-S_{NPD}-S_{CNM}+S_{AQP}=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{4}(S+S_1)+\dfrac{1}{4}S_1=\dfrac{1}{2}S.$$