1. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2. Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.
3. Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
4. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD, BC=AD$.

Докажем, что $ABCD$ – параллелограмм.

Проведем диагональ $AC$.

Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по третьему признаку равенства, следовательно $\angle 3=\angle 4$.

Но так как эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB\parallel CD$.

Аналогично $\angle 1=\angle 2$, и следовательно $BC\parallel AD$.
А значит, $ABCD$ – параллелограмм по определению.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD$ и $AB\parallel CD$.

Докажем, что тогда $ABCD$ – параллелограмм.

Проведем диагональ $AC$.

Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по второму признаку равенства ($AB=CD$, $AC$ – общая, $\angle 3=\angle 4$, как накрест лежащие).

Следовательно, $BC=AD$.

Тогда $ABCD$ – параллелограмм по первому пункту теоремы.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и при этом $AO=OC, BO=OD$.

Докажем, что $ABCD$ – параллелограмм.

Действительно, $\angle AOB=\angle COD, \angle BOC=\angle AOD$, как вертикальные, следовательно, $\triangle AOB=\triangle COD, \triangle BOC=\triangle AOD$ по второму признаку равенства.

Тогда $AB=CD$ и $BC=AD$, и, следовательно, $ABCD$ – параллелограмм по первому пункту теоремы.

Обозначим $\angle A=\angle C=\alpha, \angle B=\angle D=\beta$.

Так как сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, то $2\alpha+2\beta=360^\circ$, то есть $\alpha+\beta=180^\circ$.

Но тогда $\angle A+\angle B=180^\circ$, и, так как это односторонние углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, $AD\parallel BC$.

Аналогично, $\angle A+\angle D=180^\circ$, то есть $AB\parallel CD$.

Таким образом $ABCD$ – параллелограмм по определению.