Рассмотрим треугольник ABC, в котором Z – центроид, H – ортоцентр, O – центр описанной окружности. Тогда точки O, Z и H лежат на одной прямой (в таком порядке), и →ZO=−12→ZH.
Рассмотрим гомотетию с центром в точке Z и коэффициентом −12. Очевидно точки A,B,C перейдет соответственно в точки A1,B1,C1.
Поскольку точка O является ортоцентром треугольника A1B1C1, то точка H перейдёт в точку O.
Отсуда следует, что точки H, Z и O лежат на одной прямой, и кроме того →ZO=−12→ZH.
В частности, |ZH|=x,|ZO|=2x,|OH|=3x.