Processing math: 100%

Теорема (прямая Эйлера)

Рассмотрим треугольник ABC, в котором Z – центроид, H – ортоцентр, O – центр описанной окружности. Тогда точки O, Z и H лежат на одной прямой (в таком порядке), и ZO=12ZH.

Доказательство

Рассмотрим гомотетию с центром в точке Z и коэффициентом 12. Очевидно точки A,B,C перейдет соответственно в точки A1,B1,C1.

Поскольку точка O является ортоцентром треугольника A1B1C1, то точка H перейдёт в точку O.

Отсуда следует, что точки H, Z и O лежат на одной прямой, и кроме того ZO=12ZH.

В частности, |ZH|=x,|ZO|=2x,|OH|=3x.